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向量積
鎖定
- 中文名
- 向量積
- 外文名
- cross product
- 別 名
- 向量積
- 表達式
- a×b
- 應用學科
- 數學,物理,力學
- 領域範圍
- 解析幾何
向量積基本概念
向量積表示方法
向量積定義
向量積可以被定義為:
模長:(在這裏θ表示兩向量之間的夾角(共起點的前提下)(0°≤θ≤180°),它位於這兩個矢量所定義的平面上。)
方向:a向量與b向量的向量積的方向與這兩個向量所在平面垂直,且遵守右手定則。(一個簡單的確定滿足“右手定則”的結果向量的方向的方法是這樣的:若座標系是滿足右手定則的,當右手的四指從a以不超過180度的轉角轉向b時,豎起的大拇指指向是c的方向。)
也可以這樣定義(等效):
向量積|c|=|a×b|=|a||b|sin<a,b>
即c的長度在數值上等於以a,b,夾角為θ組成的平行四邊形的面積。
而c的方向垂直於a與b所決定的平面,c的指向按右手定則從a轉向b來確定。
向量積座標運算
寫成det
利用三階行列式,寫成det
向量積證明
為了更好地推導,需要加入三個軸對齊的單位向量i,j,k。
i,j,k滿足以下特點:
i=jxk;j=kxi;k=ixj;
kxj=–i;ixk=–j;jxi=–k;
ixi=jxj=kxk=0;(0是指0向量)
由此可知,i,j,k是三個相互垂直的向量。它們剛好可以構成一個座標系。
這三個向量的特例就是i=(1,0,0)j=(0,1,0)k=(0,0,1)。
對於處於i,j,k構成的座標系中的向量u,v可以如下表示:
u=Xu*i+Yu*j+Zu*k;
v=Xv*i+Yv*j+Zv*k;
那麼uxv=(Xu*i+Yu*j+Zu*k)x(Xv*i+Yv*j+Zv*k)
=Xu*Xv*(ixi)+Xu*Yv*(ixj)+Xu*Zv*(ixk)+Yu*Xv*(jxi)+Yu*Yv*(jxj)+Yu*Zv*(jxk)+Zu*Xv*(kxi)+Zu*Yv*(kxj)+Zu*Zv*(kxk)
由於上面的i,j,k三個向量的特點,所以,最後的結果可以簡化為
向量積與數量積的區別
注:向量積≠向量的積(向量的積一般指點乘)
名稱 | 標積/內積/數量積/點積 | 矢積/外積/向量積/叉積 |
---|---|---|
運算式(a,b和c粗體字,表示向量) | a·b=|a||b|·cosθ | a×b=c,其中|c|=|a||b|·sinθ,c的方向遵守右手定則 |
幾何意義 | 向量a在向量b方向上的投影與向量b的模的乘積 | c是垂直a、b所在平面,且以|b|·sinθ為高、|a|為底的平行四邊形的面積 |
運算結果的區別 | 標量(常用於物理)/數量(常用於數學) | 矢量(常用於物理)/向量(常用於數學) |
向量積性質
向量積幾何意義及其運用
向量積代數規則
1、反交換律:a×b=-b×a
2、加法的分配律:a×(b+c)=a×b+a×c。
3、與標量乘法兼容:(ra)×b=a×(rb)=r(a×b)。
4、不滿足結合律,但滿足雅可比恆等式:a×(b×c)+b×(c×a)+c×(a×b)=0。
5、分配律,線性性和雅可比恆等式別表明:具有向量加法和叉積的R3構成了一個李代數。
向量積拉格朗日公式
(a×b)×c=b(a·c)-a(b·c)
a×(b×c)=b(a·c)-c(a·b)
證明過程如下:
二重向量叉乘化簡公式及證明
這裏給出一個和梯度相關的一個情形:
這是一個霍奇拉普拉斯算子的霍奇分解的特殊情形。
另一個有用的拉格朗日恆等式是:
向量積矩陣形式
給定直角座標系的單位向量i,j,k滿足下列等式:
i×j=k;
j×k=i;
k×i=j;
通過這些規則,兩個向量的叉積的座標可以方便地計算出來,不需要考慮任何角度:設
a=[a1,a2,a3]=a1i+a2j+a3k;
b=[b1,b2,b3]=b1i+b2j+b3k;
則a×b=[a2b3-a3b2,a3b1-a1b3,a1b2-a2b1]。
叉積也可以用四元數來表示。注意到上述i,j,k之間的叉積滿足四元數的乘法。一般而言,若將向量[a1,a2,a3]表示成四元數a1i+a2j+a3k,兩個向量的叉積可以這樣計算:計算兩個四元數的乘積得到一個四元數,並將這個四元數的實部去掉,即為結果。更多關於四元數乘法,向量運算及其幾何意義請參看四元數(空間旋轉)。
[2]
向量積高維情形
七維叉積具有與三維叉積相似的性質:
雙線性性:x×(ay+bz)=ax×y+bx×z;(ay+bz)×x=ay×x+bz×x;
反交換律:x×y+y×x=0;
同時與x和y垂直:x·(x×y)=y·(x×y)=0;
拉格朗日恆等式:|x×y|²=|x|²|y|²-(x·y)²;
向量積應用
在物理學光學和計算機圖形學中,叉積被用於求物體光照相關問題。