子對象

子對象是子代數系概念的推廣。它是商對象的對偶概念。

設A,B為範疇𝒞 的兩個對象，若有單態射 i:A→B，則稱A為B的子對象。例如在環範疇中，環R的子環為S為R的子對象。 ^[1] 

在數學中，一個範疇C的子範疇（subcategory）是一個範疇S，其對象為C內的對象，態射為C內的態射，且有相同的單位態射與態射覆合。直觀上來看，C的子範疇是一個從C中“移去”部分對象和態射的範疇。

一個

的子範疇

被稱之為同構封閉的，若每一個在C內的同構

（

在

內）也會屬於

。一個同構封閉完全子範疇被稱之為是嚴格完全的。

一個

的子範疇是寬的，若其包括所有

的對象。一個寬子範疇基本上不會是完全的：一個範疇唯一的完全寬子範疇即是此一範疇本身。

一個塞爾子範疇是指一個阿貝爾範疇

的一非空完全子範疇

，其中對所有在

內的所有短正合序列

會屬於

，當且僅當

和

也屬於

。

(quotient object)

商對象是商代數系概念的推廣。它是子對象的對偶概念。

設A，B為範疇C的兩個對象。若有滿態射π：A→B，則稱B為A的商對象。

例如在環範疇中，若π：R→S為環的滿同態，則ker π為R的理想且SR/ker π，即S在同構意義下為R的商環。用範疇語言講，即S為R的商對象。