基礎解系

對於m個方程、n個未知數的齊次線性方程組

，係數矩陣記為A，其秩記為r(A)，齊次線性方程組總有零解，不存在無解的情況，且其有非零解的等價條件為

，即係數矩陣

中的列向量

線性相關。而且齊次線性方程組的解向量的線性組合仍然是該線性方程組的解。證明如下：

設

是

的兩個不相等的解向量，即有：

令

，其中

為任意實數，即

稱為

的線性組合，且有：

即可得，

也是

的解。

把由齊次線性方程組

的解所構成的集合稱為解空間，它的維數為

。 該解空間中的一組基就成為該線性方程組的一組基礎解系。換句話説，基礎解系是由

個線性無關的解向量構成的，基礎解系的解向量個數是確定的，但解向量是不確定的，只要兩兩之間線性無關即可。基礎解系的任意線性組合構成了該齊次線性方程組

的一般解，也稱通解 ^[2]  。

要證明一組向量為齊次線性方程組

的基礎解系時，必須滿足以下三條：

（1）這組向量是該方程組的解；

（2）這組向量必須是線性無關組，即基礎解系各向量線性無關；

（3）方程組的任意解均可由基礎解系線性表出，即方程組的所有解都可以用基礎解系的量來表示。

另外，這組向量所含向量的個數

，其中

是未知量的個數，即係數矩陣

的列數 ^[2] 

求法一：先求出齊次或非齊次線性方程組的一般解，即先求出用自由未知量表示獨立未知量的一般解的形式，然後將此一般解改寫成向量線性組合的形式，則以自由未知量為組合係數的解向量均為基礎解系的解向量。由此易知，齊次線性方程組中含幾個自由未知量，其基礎解系就含幾個解向量 ^[3]  。

求法二：先確定自由未知量，不妨設AX=b的係數矩陣A的秩為r，並假設A經過初等行變換化為如下形式：

則AX=0分別可化為如下的同解方程組：

令自由未知量x_r+1，x_r+2，……，x_n分別取n－r組數[1,0,...,0],[0,1,0,...,0],...,[0,0,…,1]，將其帶入方程組，分別帶入x₁，x₂，……，x_r分別取n－r組數，這樣就得到基礎解系所含的n一r個線性無關的解，即

其中，含所有自由未知量的取值全為0，代入方程組①，得原方程組的一特解為

參考資料： ^[3] 

【例題1】：

已知齊次線性方程組

的一組基礎解係為

，則下列結論是否正確？

a.

也為

的一組基礎解系。

b.向量組

能被向量組

線性表出，則

也是

的基礎解系。

c.向量組

與向量組

可以互相線性表出，則

也是

的基礎解系。

d.向量組

與向量組

是等價的向量組，則

也是

的基礎解系。

【解析】：

a.正確。 首先因

是線性方程組

的3個解向量，它們的線性組合

也是

的解。再證它們是線性無關的。證明方法有很多種，最簡單的方法是：設

，矩陣

的列秩等於3，而通過列初等變換可把

化為

，

（初等變換不改變矩陣的秩），所以

的列秩也為3. 列向量組

為

的3個線性無關的解向量，滿足前面提出的3條（見證明），所以它們構成

的一組基礎解系。

b.不正確。因為

能被

線性表出，根據定理，

，這不能保證

（例如

，則

線性相關），即

有可能成為的一組線性相關解，故不能構成

的一組基礎解系。

c.正確。兩組向量可以互相線性表出，故

，且

有滿足

，即它們為

的3個線性無關解，故構成

的一組基礎解系。

d.不正確。因為

的個數為4，故不能構成

的基礎解系，實際上，因為兩組向量等價，故等秩，向量組

是線性相關的。 ^[2]