圖解法

定義一

圖解法解線性規劃問題：只含有兩個決策變量的線性規劃問題，可以通過在平面上作圖的方法求解，這種求解線性規劃問題的方法稱為圖解法。該方法簡單直觀，有助於我們理解求解線性規劃問題的基本原理，用圖解法解題時，不必將數學模型標準化，易於施行，但是我們一般只用圖解法求解含兩個變量的線性規劃問題。 ^[3] 

定義二

圖解法解其他數學運算：圖解法是指利用圖形來解決數學運算的方法。數學運算的本質是通過尋找數與數之間的關係來解決實際問題，整個過程比較抽象。如果我們能夠利用圖形這種工具，將複雜的數字之間的關係用圖形形象地表示出來，能夠更快更準地解決問題。

當我們用圖解法解線性規劃問題時，遵從如下步驟：

第一步，在平面上建立平面直角座標系；

第二步．圖示約束條件，找出可行域或判定可行域是空集；

第三步，圖示目標函數，尋找最優解。 ^[1] 

例1 試用圖解法求解下面的線性規劃問題：

解 首先，按如下步驟繪出可行域（圖1中陰影部分）：

(1)繪出平面直角座標系；

(2)繪出直線

，第一個約束不等式是“≤”，故可行域位於直線的左下方；

(3)同理，依次繪出直線

與直線

，判別可行域的方位；

(4)根據

，繪出可行域；

其次，目標函數

可以變形為

，即相應的直線族在

軸上截上截距的2倍是目標函數值。

我們可以看到最優值應該在頂點C(4，1)取得，最優值是14。若求目標函數的最小值，則最小值是0，在原點O(0，0)取得。

通過觀察可行域，發現：可行域中任意兩點連線上的點仍在可行域內，即可行域是凸集，在描繪可行域時，我們亦可以利用原點判別可行域與已知直線的關係。 ^[3] 

例1即為此情形。

若將例1中的目標函數變更為

，則目標函數族與線段BC所在的直線平行，線段BC上的所有點均是最優解，最優值唯一。

若某個線性規劃問題的可行域是無界的，則有可能出現無有限最優解的情況，如將例1變更為：

其可行域是可以向上無限延伸的無界區域，最優解是

。

同時需注意到可行域無界並不意味着一定無有限最優解，若將本例中目標函數的最大值變更為求目標函數的最小值，此時有有限最優值0。

一般的，若對某實際問題進行求解時，出現了無有限最優解的情況，多表示數學模型中缺少必要的約束條件。

若某個線性規劃問題的約束條件是

則此問題的可行域是空集，該問題無可行解。

若解某個實際問題的數學模型時，出現可行域是空集的情形，多是某一約束條件出現了偏差。

圖解法的進一步討論

前面我們已經研究了圖解法的基本理論，在現實操作中，由於種種原因可能會引起偏差乃至錯誤。

如果約束不等式的右端項的數值較大，遠大於工藝係數，我們用圖解法解決相應問題時就可能由於觀測或操作的原因（畫圖或直線平移等）導致錯誤發生；所得到的最優解並非是真正的最優解，為此，我們可以根據定理（如果線性規劃問題（P）有有限最優解，則其目標函數的最優值一定可以在可行域的頂點上達到），採用頂點比較法尋求線性規劃問題的最優解，所謂頂點比較法是先求出可行域的所有頂點的座標，而後分別計算目標函數在頂點的函數值，通過比較大小而得出最優值的方法。

除頂點比較法外，還可以用斜率比較法減少上述錯誤的發生，所謂斜率比較法是指先求出目標函數的斜率（稱為目標斜率），而後，將難以判別是否是最優解的頂點的邊界連線所在直線的斜率求出，將其與目標函數進行比較，最終得出最優解的方法。

此外，還可以利用目標函數參與法求簡單線性規劃的最優整數解。 ^[3] 

一般説來，圖解法適用於絕大部分題型，尤其是在行程問題、年齡問題、容斥問題等強調分析過程的題型中運用得很廣。圖解法簡單直觀，能夠清楚表現出問題的過程變化，但是容易出錯，在畫圖形的時候一定要保證圖形和數字保持一一對應的關係。 ^[2] 

某人上午8點要去上班，可是發現家裏的鬧鐘停在了6點10分，他上足發條但忘了對錶就急急忙忙地上班去了，到公司一看還提前了10分鐘。中午12點下班後，回到家一看，鬧鐘才11點整，假定此人上班、下班在路上用的時間相同，那麼他家的鬧鐘停了多少分鐘？

A.100 B.90 C.80 D.70

解析：這個忘了上發條的時鐘問題實際對應的是一個時間軸，我們選擇此模型分析題幹情境。

如圖2所示，這個人8點上班，12點下班，把相應的信息對應在時間軸上。到公司時提前了10分鐘説明實際抵達時間為7點50分。上下班時間相同，設為x分鐘。把這人出發與回到家的時間也分別寫在對應的時間軸上。

鬧鐘從6點10分走到11點，共走了4小時50分，也就相當於2x+10分鐘+4小時，即4小時50分=2x+10分鐘+4小時，可知x=20分鐘。

從而可知這個人從家出發的時間為7點30分，而此時鬧鐘停在了6點10分，所以鬧鐘停了60+20=80分鐘。 ^[2]