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可行域
鎖定
在
優化設計中,一個不等式
約束條件g(x)≤0可以將設計空間劃分為兩個部分：一部分滿足約束條件g(x)<0，另一部分不滿足約束條件g(x)>0，這兩部分的分界面稱為約束面，即g(x)=0。若某項設計有m個不等式約束條件，則由m個約束面在設計空間中形成兩個區域，凡滿足不等式約束方程組的設計變量選擇區域，稱為設計可行域，或稱約束區域；凡不滿足不等式約束方程組中任一個約束條件的設計變量選擇區域，則稱為設計非可行域或約束違反區域。可行域內的設計點所對應的解均為
可行解。在優化設計問題中，由於存在各種設計約束，其最優設計方案通常都是可行域上的邊界點。
[1]
- 中文名
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可行域
- 外文名
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feasibleregion
- 所屬學科
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數理科學
- 相關概念
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線性規劃、可行解、約束條件等
- 別 名
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約束區域
- 類 型
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數理科學術語
可行域基本介紹
所謂
約束集合，就是指所有不等式約束和等式約束的交集。在此集合內所有設計點x都滿足全部的
約束條件，故又稱它為
設計可行域，表示為：
其中假設函數
和h(x)都是連續的。這樣，對於一個約束的優化設計問題，由於約束面的存在而把設計空間劃分為兩個區域：
設計可行域D和
非可行域。因而，最優解或可接受設計解只能從可行域內的各點中產生。
顯然，若在可行域內不存在設計點，則認為此可行集合是個
空集，此時也就得不到一個設計解，問題就可能出於所建立的約束條件與設計要求是相矛盾的。
關於約束可行域D是否為一個凸集，在凸規劃理論中證明了：若各個不等約束函數
是凸函數和等式約束
是線性函數，則D是凸集。但是隻要等式約束是非線性的，那麼集合D一定是個非凸集。
[2]
可行域可行域的其他性質
【例1】對於一個二維問題，當其約束條件為：
由圖1 (a)可見，它是一個在第一象限內的
凸集；當約束條件改為：
時，由圖1 (b)可見，是一個在第一象限內的非凸集D，因為
函數是一
凹函數；當
約束條件取為等式約束
時，由圖1 (c)可見，也是一個非凸集，此時這個集合是在x
1≥0和x
2≥0（第一象限內）上
的一段曲線。
圖1（a）凸集
圖1 （b）非凸集
圖1（c）非凸集
值得注意的是，一個約束函數經過變換，雖然表示形式不同但未改變其約束條件的性質，但有時卻會影響約束函數的
凸性，例如，對於x
1>0和x
2>0，且a和b為正常數，其原約束條件形式為：
可以等價地變換為下面形式（由於x
1和x
2均取正值，故不等式的意義沒有改變）：
結果是
是凸函數，變換為
則是非凸函數，因為它們的Hessian矩陣分別為：
由此，約束函數通過形式上的變換，結果可能丟失了函數的凸性（或者相反），這也就影響可行域的約束集合的凸性條件。
根據上述可以推知，在n維歐氏空間Rn中，由一組不等式約束函數可以組成一個或幾個可行域D。對於僅由一組等式約束所組成的可行域D，如果這組方程的函數是連續且彼此獨立的，那麼這個可行域D就是一個n-p維的子集。
對於由一組非線性約束函數所定義的可行域，確定它是凸集還是非凸集，一般説來是比較困難的，而且對於一個非凸的集合，往往是造成一個優化設計問題有多個約束極值的重要原因。
[2]
- 參考資料
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1.
黃漢江．建築經濟大辭典：上海社會科學院出版社，1990
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2.
陳立周，俞必強．機械優化設計方法（第4版）：冶金工業出版社，2014.01
圖1（a）凸集
圖1 （b）非凸集
圖1（c）非凸集
