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凸性

(數學術語)

鎖定
曲線的凹或凸統稱為曲線的凸性
中文名
凸性
外文名
convexity
所屬學科
數理科學
分    類
曲線的凹或凸統稱為曲線的凸性

凸性凸性含義

從切線角度講,下凸弧上過任一點的切線都在曲線弧之下,而上凸弧上過任一點的切線都在曲線弧之上。
從割線角度講,如果連續曲線y=f(x)在區間(a,b)對應的曲線弧上任意兩點的割線線段都在該兩點間的曲線弧之上,則稱該段曲線弧是下凸的,並稱函數y=f(x)在區間(a,b)上是下凸的(或上凹的,即曲線開口向上)。如果連續曲線y=f(x)在區間(a,b)對應的曲線弧上任意兩點的割線線段都在該兩點間的曲線弧之下,則稱該段曲線弧是上凸的,並稱函數y=f(x)在區間(a,b)上是上凸的(或下凹的,即曲線開口向下)。
從導數角度講,設y=f(x)在(a,b)內具有二階導數,如果在(a,b)內f''(x)>o,則y=f(x)在(a,b)內為下凸;如果在(a,b)內f''(x)

凸性意義

在研究函數圖形的變化時,僅僅研究單調性並不能完全反映它的變化規律。如圖1,函數雖然在區間[a,b]內單調遞增,但卻有不同的彎曲狀況,從左到右,曲線先是向下凹,通過P點後改變了彎曲方向,曲線向上凸。因此,在研究函數的圖形時,除了研究其單調性,對於它的彎曲方向及彎曲方向的改變點的研究也是很有必要的。從圖1明顯可知,曲線向下凹時,彎曲的弧段位於這弧段上任意一點的切線的上方,曲線向上凸時,彎曲的弧段位於這弧段上任意一點的切線的下方。 [1] 

凸性基本概念

凸性凹函數和凸函數

如果在某區間I內,連續函數
的曲線弧位於其上任意一點切線的上方(下方),則稱曲線在這個區間內是凹的(凸的),區間I稱為函數
凹區間(凸區間),記為
,函數
則為區間I上的凹函數(凸函數)。 [1] 
圖1 圖1

凸性凸性的定義

連續曲線上,凹曲線和凸曲線的分界點稱為曲線的拐點
曲線的凹或凸統稱為曲線的凸性,顯然,只要知道了函數的凸性即找到函數的凹凸區間,拐點就顯而易得。 [1] 

凸性判斷曲線的凸性

設函數
在區間[a,b]上連續,在(a,b)內具有二階導數,則:
①如果
時,恆有
,則曲線
在[a,b]內是凹的;
②如果
時,恆有
,則曲線
在[a,b]內是凸的。
因為
時,
單調增加,即斜率
由小變大,曲線是凹的,如圖2、3所示;反之,如果
時,
單調減少,即斜率
由大變小,曲線是凸的,如圖4、5所示。
拐點既然是曲線上凸凹的分界點,故在拐點的左右鄰域
必然異號,而拐點處的二階導數
不存在,因此在確定拐點時,首先找到
不存在的點,以這些點將定義域劃分為若干個子區間,然後檢驗這些點左右鄰域
的符號,若異號則為拐點,否則不是拐點。 [1] 
圖2 圖2
圖3 圖3
圖4 圖4
圖5 圖5

凸性例題解析

例1 求曲線
的凹凸區間與拐點。 [1] 
解: 易知,定義域為(-∞,+∞),求導數得
,得
,且二階導數沒有不存在的點。
為分界點,將定義域劃分為3個子區間,並討論函數在各子區間上的凸性及拐點,見表1。
表1<br>
x
(-∞,0)
0
(0,1)
1
(1,+∞)
y''
+
0
0
+
y
拐點
拐點
從表1可知,該曲線的凹區間為(一∞,0),(1,+∞),凸區間為(0,1);曲線的拐點為(0,1)和(1,0)。
例2 求曲線
的凹凸區間及拐點。
解: 易知,定義域為(-∞,+∞),求導數得
由二階導數可知,無
的點;當
時,
不存在.見表2。
表2<br>
x
(-∞,2)
2
(2,+∞)
y''
不存在
+
y
拐點
由表2知,曲線的凹區間為(2,+∞),凸區間為(-∞,2);拐點為(2,0)。 [1] 
參考資料
  • 1.    艾藝紅,殷羽主編;徐文華,徐暢凱,唐建民,吳海洋副主編.微積分:重慶大學出版社,2015.08