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凸性
(數學術語)
鎖定
曲線的凹或凸統稱為曲線的凸性。
- 中文名
- 凸性
- 外文名
- convexity
- 所屬學科
- 數理科學
- 分 類
- 曲線的凹或凸統稱為曲線的凸性
凸性凸性含義
從切線角度講,下凸弧上過任一點的切線都在曲線弧之下,而上凸弧上過任一點的切線都在曲線弧之上。
從割線角度講,如果連續曲線y=f(x)在區間(a,b)對應的曲線弧上任意兩點的割線線段都在該兩點間的曲線弧之上,則稱該段曲線弧是下凸的,並稱函數y=f(x)在區間(a,b)上是下凸的(或上凹的,即曲線開口向上)。如果連續曲線y=f(x)在區間(a,b)對應的曲線弧上任意兩點的割線線段都在該兩點間的曲線弧之下,則稱該段曲線弧是上凸的,並稱函數y=f(x)在區間(a,b)上是上凸的(或下凹的,即曲線開口向下)。
從導數角度講,設y=f(x)在(a,b)內具有二階導數,如果在(a,b)內f''(x)>o,則y=f(x)在(a,b)內為下凸;如果在(a,b)內f''(x)
凸性意義
在研究函數圖形的變化時,僅僅研究單調性並不能完全反映它的變化規律。如圖1,函數雖然在區間[a,b]內單調遞增,但卻有不同的彎曲狀況,從左到右,曲線先是向下凹,通過P點後改變了彎曲方向,曲線向上凸。因此,在研究函數的圖形時,除了研究其單調性,對於它的彎曲方向及彎曲方向的改變點的研究也是很有必要的。從圖1明顯可知,曲線向下凹時,彎曲的弧段位於這弧段上任意一點的切線的上方,曲線向上凸時,彎曲的弧段位於這弧段上任意一點的切線的下方。
[1]
凸性基本概念
凸性凹函數和凸函數
凸性凸性的定義
連續曲線上,凹曲線和凸曲線的分界點稱為曲線的拐點。
凸性判斷曲線的凸性
設函數
在區間[a,b]上連續,在(a,b)內具有二階導數,則:
①如果
時,恆有
,則曲線
在[a,b]內是凹的;
②如果
時,恆有
,則曲線
在[a,b]內是凸的。
拐點既然是曲線上凸凹的分界點,故在拐點的左右鄰域
必然異號,而拐點處的二階導數
或
不存在,因此在確定拐點時,首先找到
或
不存在的點,以這些點將定義域劃分為若干個子區間,然後檢驗這些點左右鄰域
的符號,若異號則為拐點,否則不是拐點。
[1]
凸性例題解析
解: 易知,定義域為(-∞,+∞),求導數得
令
,得
,且二階導數沒有不存在的點。
以
為分界點,將定義域劃分為3個子區間,並討論函數在各子區間上的凸性及拐點,見表1。
x | (-∞,0) | 0 | (0,1) | 1 | (1,+∞) |
y'' | + | 0 | - | 0 | + |
y | ∪ | 拐點 | ∩ | 拐點 | ∪ |
從表1可知,該曲線的凹區間為(一∞,0),(1,+∞),凸區間為(0,1);曲線的拐點為(0,1)和(1,0)。
例2 求曲線
的凹凸區間及拐點。
解: 易知,定義域為(-∞,+∞),求導數得
由二階導數可知,無
的點;當
時,
不存在.見表2。
x | (-∞,2) | 2 | (2,+∞) |
y'' | - | 不存在 | + |
y | ∩ | 拐點 | ∪ |