線性規劃

數學模型

（1）列出約束條件及目標函數

（2）畫出約束條件所表示的可行域

（3）在可行域內求目標函數的最優解及最優值

描述線性規劃問題的常用和最直觀形式是標準型。標準型包括以下三個部分：

一個需要極大化的線性函數：

以下形式的問題約束：

和非負變量：

其它類型的問題，例如極小化問題，不同形式的約束問題，和有負變量的問題，都可以改寫成其等價問題的標準型。

從實際問題中建立數學模型一般有以下三個步驟；

1.根據影響所要達到目的的因素找到決策變量；

2.由決策變量和所在達到目的之間的函數關係確定目標函數；

3.由決策變量所受的限制條件確定決策變量所要滿足的約束條件。

所建立的數學模型具有以下特點：

1、每個模型都有若干個決策變量（x1，x2，x3……，xn），其中n為決策變量個數。決策變量的一組值表示一種方案，同時決策變量一般是非負的。

2、目標函數是決策變量的線性函數，根據具體問題可以是最大化（max）或最小化（min），二者統稱為最優化（opt）。

3、約束條件也是決策變量的線性函數。

當我們得到的數學模型的目標函數為線性函數，約束條件為線性等式或不等式時稱此數學模型為線性規劃模型。

例：

生產安排模型：某工廠要安排生產Ⅰ、Ⅱ兩種產品，已知生產單位產品所需的設備台時及A、B兩種原材料的消耗，如表所示，表中右邊一列是每日設備能力及原材料供應的限量，該工廠生產一單位產品Ⅰ可獲利2元，生產一單位產品Ⅱ可獲利3元，問應如何安排生產，使其獲利最多？

解：

1、確定決策變量：設x1、x2分別為產品Ⅰ、Ⅱ的生產數量；

2、明確目標函數：獲利最大，即求2x1+3x2最大值；

3、所滿足的約束條件：

設備限制：x1+2x2≤8

原材料A限制：4x1≤16

原材料B限制：4x2≤12

基本要求：x1，x2≥0

用max代替最大值，s.t.（subject to 的簡寫）代替約束條件，則該模型可記為：

max z=2x1+3x2

s.t. x1+2x2≤8

4x1≤16

4x2≤12

x1，x2≥0

求解線性規劃問題的基本方法是單純形法，已有單純形法的標準軟件，可在電子計算機上求解約束條件和決策變量數達 10000個以上的線性規劃問題。為了提高解題速度，又有改進單純形法、對偶單純形法、原始對偶方法、分解算法和各種多項式時間算法。對於只有兩個變量的簡單的線性規劃問題，也可採用圖解法求解。這種方法僅適用於只有兩個變量的線性規劃問題。它的特點是直觀而易於理解，但實用價值不大。通過圖解法求解可以理解線性規劃的一些基本概念。

對於一般線性規劃問題：Min z=CX

S.T.

AX =b

X>=0

其中A為一個m*n矩陣。

若A行滿秩

則可以找到基矩陣B，並尋找初始基解。

用N表示對應於B的非基矩陣。則規劃問題1可化為：

規劃問題2：

Min z=CB XB+CNXN

S.T.B XB+N XN = b (1)

XB >= 0, XN >= 0 (2)

(1)兩邊同乘B-1，得

XB + B-1 N XN = B-1 b

同時，由上式得XB = B-1 b - B-1 N XN，也代入目標函數，問題可以繼續化為：

規劃問題3：

Min z=CB B-1 b + ( CN - CB B-1 N ) XN

S.T.

XB+B-1N XN = B-1 b (1)

XB >= 0, XN >= 0 (2)

令N:=B-1N，b:= B-1 b，ζ= CB B-1b，σ= CN - CB B-1 N，則上述問題化為規劃問題形式4：

Min z= ζ + σ XN

S.T.

XB+ N XN = b (1)

XB >= 0, XN >= 0 (2)

在上述變換中，若能找到規劃問題形式4，使得b>=0，稱該形式為初始基解形式。

上述的變換相當於對整個擴展矩陣（包含C及A） 乘以增廣矩陣 。所以重在選擇B，從而找出對應的CB。

若存在初始基解

若σ>= 0

則z >=ζ。同時，令XN = 0，XB = b，這是一個可行解，且此時z=ζ，即達到最優值。所以，此時可以得到最優解。

若σ >= 0不成立

可以採用單純形表變換。

σ中存在分量<0。這些負分量對應的決策變量編號中，最小的為j。N中與j對應的列向量為Pj。

若Pj <=0不成立

則Pj至少存在一個分量ai，j為正。在規劃問題4的約束條件（1）的兩邊乘以矩陣T。

T=

則變換後，決策變量xj成為基變量，替換掉原來的那個基變量。為使得T b >= 0，且T Pj=ei（其中，ei表示第i個單位向量），需要：

l ai，j>0。

l βq+βi*(-aq,j/ai,j)>=0，其中q!=i。即βq>=βi/ ai,j * aq,j。

n 若aq,j<=0，上式一定成立。

n 若aq,j>0，則需要βq / aq,j >=βi/ ai,j。因此，要選擇i使得βi/ ai,j最小。

如果這種方法確定了多個下標，選擇下標最小的一個。

轉換後得到規劃問題4的形式，繼續對σ進行判斷。由於基解是有限個，因此，一定可以在有限步跳出該循環。

若對於每一個i，ai,j<=0

最優值無解。

若不能尋找到初始基解

無解。

若A不是行滿秩

化簡直到A行滿秩，轉到若A行滿秩。

法國數學家J.- B.- J.傅里葉和C.瓦萊－普森分別於1832和1911年獨立地提出線性規劃的想法，但未引起注意。

1939年蘇聯數學家Л.В.康託羅維奇在《生產組織與計劃中的數學方法》一書中提出線性規劃問題，也未引起重視。

1947年美國數學家G.B.Dantzing提出求解線性規劃的單純形法，為這門學科奠定了基礎。

1947年美國數學家J.von諾伊曼提出對偶理論,開創了線性規劃的許多新的研究領域，擴大了它的應用範圍和解題能力。

1951年美國經濟學家T.C.庫普曼斯把線性規劃應用到經濟領域，為此與康託羅維奇一起獲1975年諾貝爾經濟學獎。

50年代後對線性規劃進行大量的理論研究，並湧現出一大批新的算法。例如，1954年C.萊姆基提出對偶單純形法，1954年S.加斯和T.薩迪等人解決了線性規劃的靈敏度分析和參數規劃問題，1956年A.塔克提出互補鬆弛定理，1960年G.B.丹齊克和P.沃爾夫提出分解算法等。

線性規劃的研究成果還直接推動了其他數學規劃問題包括整數規劃、隨機規劃和非線性規劃的算法研究。由於數字電子計算機的發展，出現了許多線性規劃軟件，如MPSX，OPHEIE，UMPIRE等，可以很方便地求解幾千個變量的線性規劃問題。

1979年蘇聯數學家L. G. Khachian提出解線性規劃問題的橢球算法，並證明它是多項式時間算法。

1984年美國貝爾電話實驗室的印度數學家N.卡馬卡提出解線性規劃問題的新的多項式時間算法。用這種方法求解線性規劃問題在變量個數為5000時只要單純形法所用時間的1/50。現已形成線性規劃多項式算法理論。50年代後線性規劃的應用範圍不斷擴大。 建立線性規劃模型的方法

在企業的各項管理活動中,例如計劃、生產、運輸、技術等問題，線性規劃是指從各種限制條件的組合中，選擇出最為合理的計算方法，建立線性規劃模型從而求得最佳結果。