嘉當子代數

設𝖌為李代數，𝖍為𝖌的子代數，n(𝖍)為𝖍的正規化子，若

(1)𝖍為冪零李代數，

(2)𝖍=n(𝖍)，

則稱𝖍為𝖌的嘉當子代數。 ^[7] 

嘉當子代數為極大冪零子代數。

李代數𝖌的子代數𝖍是嘉當子代數，當且僅當𝖍是極小恩格爾子代數。

任何有限維復李代數均有嘉當子代數。

設G為𝖌的內自同構羣，則G在𝖌的嘉當子代數𝖍上的羣作用是傳遞的 ^[6] 

對任意兩個嘉當子代數h₁和h₂，必存在𝖌的內自同構σ，使得σ(h₁)=h₂，即h₁和h₂是共軛的。在實的情形下，這個性質不成立。當𝖌為有限維實或復半單李代數時，嘉當子代數必為極大交換子代數。 ^[2] 

𝖘𝖔₃(ℝ)的一維子空間為嘉當子代數。 ^[8] 

嘉當子代數(Cartan subalgebra)是研究李代數分解時常用的一類子代數。

數學的一個分支。傳統的代數用有字符 (變量) 的表達式進行算術運算，字符代表未知數或未定數。如果不包括除法 (用整數除除外)，則每一個表達式都是一個含有理係數的多項式。例如： 1/2 xy +1/4z-3x+2/3. 一個代數方程式 (參見EQUATION)是通過使多項式等於零來表示對變量所加的條件。如果只有一個變量，那麼滿足這一方程式的將是一定數量的實數或複數——它的根。一個代數數是某一方程式的根。代數數的理論——伽羅瓦理論是數學中最令人滿意的分支之一。建立這個理論的伽羅瓦(Evariste Galois，1811-32)在21歲時死於決鬥中。他證明了不可能有解五次方程的代數公式。用他的方法也證明了用直尺和圓規不能解決某些著名的幾何問題(立方加倍，三等分一個角)。多於一個變量的代數方程理論屬於代數幾何學，抽象代數學處理廣義的數學結構，它們與算術運算有類似之處。參見，如： 布爾代數(BOOLEAN ALGEBRA);羣 (GRO-UPS);矩陣(MATRICES);四元數(QUA-TERNIONS );向量(VECTORS)。這些結構以公理 (見公理法 AXIOMATICMETHOD) 為特徵。特別重要的是結合律和交換律。代數方法使問題的求解簡化為符號表達式的操作，已滲入數學的各分支。 ^[1] 

設K為一交換體。把K上的向量空間E叫做K上的代數，或叫K-代數，如果賦以從E×E到E中的雙線性映射.換言之，賦以集合E由如下三個給定的法則所定義的代數結構：

——記為加法的合成法則(x，y)↦x+y;

——記為乘法的第二個合成法則(x，y)↦xy;

——記為乘法的從K×E到E中的映射(α，x)↦αx，這是一個作用法則;

這三個法則滿足下列條件：

a) 賦以第一個和第三個法則，E則為K上的一個向量空間;

b) 對E的元素的任意三元組(x，y，z)，有

x(y+z)=xy+xz(y+z)x=yx+zx;

c)對K的任一元素偶(α，β)及對E的任一元素偶(x，y)，有(αx)(βy)=(αβ) (xy).

設A為一非空集合. 賦予從A到K中的全體映射之集ℱ(A，K)以如下三個法則：

則ℱ(A， K)是K上的代數， 自然地被稱為從A到K中的映射代數.當A=N時， 代數ℱ(A，K)叫做K的元素序列代數.

無論是在代數還是在分析中，代數結構都是最常見到的結構之一。十九世紀前半葉末，隨着哈密頓四元數理論的建立，非交換代數的研究已經開始. 在十九世紀下半葉，隨着M.S.李的工作，非結合代數出現了. 到二十世紀初，由於放棄實數體或複數體作為算子域的限制，代數得到了重大擴展.

與外代數，對稱代數，張量代數，克利福德代數等一起，代數結構在多重線性代數中也建立了起來。 ^[3] 

李代數是一類重要的非結合代數。非結合代數是環論的一個分支，與結合代數有着密切聯繫。結合代數的定義中把乘法結合律刪去，就是非結合代數。

李代數是挪威數學家S.李在19世紀後期研究連續變換羣時引進的一個數學概念，它與李羣的研究密切相關。在更早些時候，它曾以含蓄的形式出現在力學中，其先決條件是“無窮小變換”概念，這至少可追溯到微積分的發端時代。可用李代數語言表述的最早事實之一是關於哈密頓方程的積分問題。S.李是從探討具有r個參數的有限單羣的結構開始的，並發現李代數的四種主要類型。法國數學家É.嘉當在1894年的論文中給出變數和參變數在複數域中的全部單李代數的一個完全分類。他和德國數學家基靈都發現，全部單李代數分成4個類型和5個例外代數，É.嘉當還構造出這些例外代數。É.嘉當和德國數學家外爾還用表示論來研究李代數，後者得到一個關鍵性的結果。“李代數”這個術語是1934年由外爾引進的。隨着時間的推移，李代數在數學以及古典力學和量子力學中的地位不斷上升。到20世紀80年代，李代數不再僅僅被理解為羣論問題線性化的工具，它還是有限羣理論及線性代數中許多重要問題的來源。李代數的理論不斷得到完善和發展，其理論與方法已滲透到數學和理論物理的許多領域。

記L為域F上的線性空間，若L中除了加法和純量積，還有第三種代數運算：L×L→L，記為[x，y]，對任意x，y∈L，它適合條件：

1.反對稱性　[x，x]=0，　x∈L.

2.雙線性性　[λx+μy，z]=λ[x，z]+μ[y，z]，λ，μ∈F，x，y∈L.

3.Jacobi恆等式　[[x，y]，z]+[[z，x]，y]+[[y，z]，x]=0，x，y，z∈L.

則[x，y]稱為x和y的換位運算，亦稱“方括號運算”.這時L稱為域F上李代數，簡稱李代數。當L的維數有限時，稱為有限維李代數;當L的維數無限時，稱為無限維李代數。例如，若L為域F上的結合代數，滿足結合律的乘法，記為ab，a，b∈L，則運算[a，b]=ab-ba， a，b∈L為換位運算.在此運算下，L為李代數。特別地，若L為由所有n×n矩陣構成的結合代數，則在矩陣運算下定義：

[A，B]=AB-BA

便構成一個n維李代數。

正規化子是刻畫羣的子集與羣的元素可換程度大小的一種概念。設S是羣G的一個子集，H是G的一個子羣，使得xSx={xsx|x∈S}=S的一切x∈H所構成的集合稱為S在H中的正規化子，記為N_H(S)，即N_H(S)={x∈H|xSx=S}.對所有的s∈S，使得xsx=s的一切x∈H所構成的集合，稱為S在H中的中心化子，記為C_H(S)，即C_H(S)={x∈H|xsx=s，s∈S}.當H=G時，習慣上簡稱S的正規化子和中心化子。G在G中的中心化子稱為G的中心，記為Z(G)或C(G)。阿貝爾羣的中心為其自身，反之亦對，即若Z(G)=G，則G為阿貝爾羣。 ^[4] 

嘉當是法國數學家。生於法國南錫，1923年入巴黎高等師範學校學習，1926年大學畢業，1928年獲博士學位.1929—1931年，任里爾大學講師;1931—1940年，任斯特拉斯堡大學教授；1940—1969年，任巴黎大學教授;1969—1975年，任南巴黎大學教授。1967—1970年，任國際數學聯盟主席。1965年，被選為法國科學院通訊院士，1974年成為院士。1971年，被選為倫敦皇家學會外籍會員，1972年，被選為美國全國科學院外籍院士.此外，他還是日本、波蘭、馬德里及北歐國家等近10家科學院、皇家科學院的院士或榮譽院士。

嘉當是法國布爾巴基學派的創始人之一。在複變函數、代數拓撲、位勢理論及同調代數等方面都做出了重要貢獻.他在複變函數論從單變量向多變量發展的過程中起了重要作用。他在20世紀30年代給出了全純自同構的惟一性定理、有界域全純自同構羣的李羣性質。1932年，他還證明了全純域與全純凸域的等價性的嘉當-蘇倫定理.他在1944年關於解析函數的理想的研究中得到的成果，同日本岡潔關於具有不定域的理想的研究，發展成瞭解析凝聚層理論。20世紀50年代初，他和塞爾(Serre，J.P.)在對施泰因流形的研究中引入了層係數的上同調理論，給出了多複變函數論中的嘉當定理，即施泰因流形上的凝聚解析層上的定理A和B.在第二次世界大戰後的15年內，他領導的著名的嘉當討論班，對代數拓撲的發展起了重要的促進作用。在討論班上引入的新方法，形成了同調代數的基礎.1954年，他和塞爾曾在上同調運算方面取得了重要成果.此外，他還引入了“濾子”等概念。他是法國第三級榮譽勳位的獲得者。1980年還獲沃爾夫數學獎.著作有《同調代數》(1956;與艾倫伯格(Eilenberg，S.)合著)等.他的主要論著均收入了三卷本的《嘉當文集》(1979)中。 ^[5]