單李代數

設L為域F上的李代數，若L的非零理想只有L本身，且[L,L]≠0(即L非交換代數)，則L稱為單李代數。 ^[6] 

單李代數的中心為{0}，而導出代數為本身。 ^[5] 

單李代數必為半單李代數，反之，在實數及複數的情形，半單李代數必為單理想子代數的直和，因此，研究實及復半單李代數的問題化為研究實及復單李代數。 ^[3] 

當dimV≧2時，特殊線性代數

為單李代數。 ^[6] 

Marius Sophus Lie（/liː/ LEE;挪威語：[liː]; 1842年12月17日 - 1899年2月18日）是挪威數學家。 他在很大程度上創造了連續對稱理論，並將其應用於幾何和微分方程的研究。

他的第一個數學作品，在1869年由科學院在克里斯蒂安出版，也由克萊勒雜誌出版。同年，他獲得了獎學金，並前往柏林，他於1870年9月至2月期間住在那裏。他遇到了Felix Klein，他們成了親密的朋友。當他離開柏林時，李先生前往巴黎，兩個月後他遇到了克萊因。在那裏，他們遇到了卡米爾·喬丹和加斯頓·達布斯。但1870年7月19日，普魯士戰爭開始，克萊因（普魯士人）不得不快速離開法國。遺憾的是離開了楓丹白露一段時間，他被懷疑是一個德國間諜被捕，這個事件讓他在挪威聞名。由於Darboux的干預，他在一個月後被釋放。

Lie於1871年在克里斯蒂安大學（現在的奧斯陸）獲得博士學位，題為“一類幾何變換”。 Darboux將其描述為“現代幾何學中最帥的發現之一”。明年，挪威議會為他建立了非凡的教授。同年，李恩訪問了克萊因，當時他在埃爾蘭根（Erlangen），並在埃爾蘭根（Erlangen）計劃上工作。

1872年底，Sophus Lie向安娜·樺木提出了十八歲，並於1874年結婚。這對夫婦有三個孩子：瑪麗（1877年），丹尼（1880年）和赫爾曼（1884年） ）。

在1884年，弗里德里希恩格爾抵達克里斯蒂安，幫助他，在克萊因和阿道夫·梅耶（當時都是萊比錫的教授的時候）的支持下。恩格爾將幫助萊布寫出他最重要的論文“理論變革格魯本”，出版於萊比錫，從1888年到1893年，共有三卷。幾十年後，恩格爾也將是李氏收藏作品的兩位編輯之一。

在1886年，萊德成為萊比錫的教授，代替搬到哥廷根的克萊因。 1889年11月，李某遭受精神崩潰，不得不住院至1890年6月。之後，他回到職位，但多年來，他的貧血發展到了他決定回到家園的地步。因此，1898年5月他提出辭職，並於同年9月離開家（好）。他於1899年的第二年去世。

他於1878年被授予倫敦數學學會榮譽會員，1892年是法國科學院院士，1895年是倫敦皇家學會的外國成員，1895年是美國國家科學院的外國助理。 。

Sophus Lie因56歲而死亡，因為有惡性貧血，一種由維生素B12吸收受損引起的疾病。 ^[1] 

李代數式一類重要的非結合代數。記L為域F上的線性空間，若L中除了加法和純量積，還有第三種代數運算：L×L→L，記為[x，y]，x，y∈L，它適合條件：

1.反對稱性　[x，x]=0，　x∈L。

2.雙線性性　[λx+μy，z]=λ[x，z]+μ[y，z]，λ，μ∈F，x，y∈L。

3.Jacobi恆等式　[[x，y]，z]+[[z，x]，y]+[[y，z]，x]=0，x，y，z∈L。

則[x，y]稱為x和y的換位運算，亦稱“方括號運算”.這時L稱為域F上李代數，簡稱李代數.當L的維數有限時，稱為有限維李代數;當L的維數無限時，稱為無限維李代數.例如，若L為域F上的結合代數，滿足結合律的乘法，記為ab，a，b∈L，則運算[a，b]=ab-ba， a，b∈L為換位運算.在此運算下，L為李代數.特別地，若L為由所有n×n矩陣構成的結合代數，則在矩陣運算下定義：

[A，B]=AB-BA

便構成一個n維李代數。

非結合代數是環論的一個分支，與結合代數有着密切聯繫。結合代數的定義中把乘法結合律刪去，就是非結合代數。

李代數是挪威數學家S.李在19世紀後期研究連續變換羣時引進的一個數學概念，它與李羣的研究密切相關。在更早些時候，它曾以含蓄的形式出現在力學中，其先決條件是“無窮小變換”概念，這至少可追溯到微積分的發端時代。可用李代數語言表述的最早事實之一是關於哈密頓方程的積分問題。S.李是從探討具有r個參數的有限單羣的結構開始的，並發現李代數的四種主要類型。法國數學家É.嘉當在1894年的論文中給出變數和參變數在複數域中的全部單李代數的一個完全分類。他和德國數學家基靈都發現，全部單李代數分成4個類型和5個例外代數，É.嘉當還構造出這些例外代數。É.嘉當和德國數學家外爾還用表示論來研究李代數，後者得到一個關鍵性的結果。“李代數”這個術語是1934年由外爾引進的。隨着時間的推移，李代數在數學以及古典力學和量子力學中的地位不斷上升。到20世紀80年代，李代數不再僅僅被理解為羣論問題線性化的工具，它還是有限羣理論及線性代數中許多重要問題的來源。李代數的理論不斷得到完善和發展，其理論與方法已滲透到數學和理論物理的許多領域。 ^[2] 

在羣論中，一個單李羣是一個連接的非阿貝爾李羣G，沒有與平凡的正常子羣相連。

單李代數是一個非阿貝爾李代數，其唯一的理想是0和它自己（或等價地，維度2或更多的李代數，其唯一的理想是0和它自己）。

單李羣是一類李羣，在離散羣體論中類似於簡單羣體的李羣理論中發揮作用。本質上，簡單的李羣是連接的李羣，不能被分解為較小連接的李羣的擴展，並且不可交換。

與實數的交換李羣一起，R，單位複數U（1）的單李羣給出了原子“塊”通過組擴展的操作來連接所有（有限維）連接的李羣。許多通常遇到的李羣是簡單的或接近於簡單的：例如，對於所有n> 1，具有等於1的n乘n個矩陣的組SL（n）是簡單的。 ^[4] 

一個簡單的李羣的等價定義遵循李對應關係：如果李代數簡單，則連接的李羣是簡單的。一個重要的技術要點是，簡單的李羣可能包含離散的正常子羣，因此簡單的李羣與簡單的抽象羣不同。

單李羣包括許多古典的李羣，它們為Felix Klein的Erlangen計劃提供了球形幾何，投影幾何和相關幾何的羣理論支撐。在單李羣的分類過程中出現，也存在幾種與任何熟悉的幾何相對應的特殊可能性。這些特殊的組織在數學的其他分支以及當代理論物理學中佔有許多特殊的例子和應用。