向量值積分

黎曼－斯蒂爾傑斯型積分常用的一種向量值積分。如果ƒ（t）是定義在[α，b]上，但取“值”於拓撲線性空間L的函數，則稱ƒ(t)是[α,b]上向量值函數。設ƒ(t)和g(t)分別是[α,b]上向量值和數值函數。任取[α,b]上分點組D：

，作和式

其中

。令

，如果極限

存在，則稱ƒ關於g在[α，b]上R-S可積，又稱是ƒ關於g的黎曼-斯蒂爾傑斯積分，簡稱R-S積分，記為

。類似地，也可以引入

。向量值R－S積分有許多類似於數值函數的R-S積分的性質。特別，有分部積分公式：如果

,

中有一個存在，則另一個必存在，且

。

下面幾種向量值積分都屬於勒貝格型的。

設(x，φ)是可測空間，如果E是定義在φ上取值於巴拿赫空間 B的滿足下列條件的向量值集函數：①E(═)=0（═是空集）；②可列可加性，對φ中任何一列互不相交的集{A_i}，

則稱E 是φ上向量值測度。例如，如果(x，φ，μ)是全σ有限測度空間，ƒ是x上取值於巴拿赫空間B的博赫納可積函數，對任何A∈φ，定義

則E便是φ上取值於B的向量值測度。特別，當B是某個巴拿赫空間（或希爾伯特空間）上的有界線性算子全體按算子範數所成的巴拿赫空間時,就稱E為φ上的算子值測度（見譜論、譜算子）。此外，和數值測度一樣，也可引入一個向量值測度關於另一個數值測度絕對連續的概念。但一般説來沒有拉東-尼科迪姆定理。但如果空間B或是自反，或是希爾伯特空間，或B的共軛空間B是可分的,這時就有拉東-尼科迪姆定理。 ^[1] 

測度論是研究一般集合上的測度和積分的理論。它是勒貝格測度和勒貝格積分理論的進一步抽象和發展，又稱為抽象測度論或抽象積分論，是現代分析數學中重要工具之一。 測度理論是實變函數論的基礎。

若爾當(Jordan，M.E.C.)於1892年在R中發展了佩亞諾可測集的概念。原來定義外測度時，要用多邊形去覆蓋點集，他規範為用有限個開區間去覆蓋，其餘不變。若爾當的改進使測度概念前進了一大步，藴涵了勒貝格測度的萌芽，但仍有明顯的缺點。主要是它仍只具有有限可加性，從而導致有些簡單的點集也不可測。例如，令A=[0，1]∩Q，則A的若爾當內測度為0，而外測度為1，因而A在若爾當意義下不可測。總之，若爾當測度只適合於黎曼積分的需要。波萊爾(Borel，(F.-É.-J.-)É.)於1898年，先由開集經過可列並與餘的運算導致一類集，即所謂波萊爾集類。再對每個有界波萊爾集對應一個實數，即波萊爾測度，並使得這種測度具有可列可加性。波萊爾的這種思想對測度理論做出了重大貢獻，成為近代測度論中用公理方式引出σ代數概念的起源，併為勒貝格(Lebesgue，H.L.)的工作開闢了道路.波萊爾的學生勒貝格在前人工作的基礎上，於1902年以更一般的形式建立起比較完善的測度理論.他在定義點集測度的方法上，容許可列覆蓋，使所建立的測度具有可列可加性，並且相當廣泛的一類點集的測度有了定義。勒貝格測度是現代抽象測度的起源，在它的基礎上建立的勒貝格積分，是現代分析中應用最廣和意義重大的積分。卡拉西奧多里(Carathéodory，C.)於1914年發展了外測度理論，對測度進行了公理化研究，並給出了測度擴張的典型方法，成為近代測度論的基礎.拉東(Radon，J.)、薩克斯(Saks，S.)、弗雷歇(Fréchet，M.-R.)以及另外一些人考慮了一般集合上的測度以及測度空間的乘積，並建立了一般可測集上積分的理論。

一般集合上的測度和積分理論是最廣泛的測度理論，但為適應各方面的需要，還出現了其他種種特殊的測度和積分.例如，20世紀30年代初，伴隨着人們對取值於巴拿赫空間的函數性質特別是可微性和可積性的研究，出現了有關向量值測度的一些工作。1960年以後，向量值測度理論得到蓬勃發展，並逐漸趨於完善。又如，19世紀建立的傅里葉分析理論，對於應用數學而言，當時已是令人滿意的數學工具，但由於黎曼積分的侷限性，對於函數與展開式之間的關係，直到勒貝格積分理論確立之後才有深刻的揭示.勒貝格積分的出現對於傅里葉展開的研究顯然促進了一大步，但依舊顯示出了它的侷限性。研究拓撲羣上的測度是建立羣上傅里葉分析的基本問題之一，這個問題自1930年以來，經過哈爾(Haar，A.)、韋伊(Weil，A.)和蓋爾範德(Гельфанд，И.М.)等人的工作而趨於完善。再如，20世紀初測度論的建立，使得人們對R中的子集關於n維勒貝格測度的性質有了很好的瞭解。但在處理與R中低維點集有關的數學問題時遇到了困難。在這種背景下，20世紀20年代出現了幾何測度論，它是研究高維空間中低維點集的測度及低維點集上積分的理論。

測度概念與積分概念緊密相關。每一種測度理論的推廣都可導致一種積分理論的推廣。測度理論不僅是積分理論的基礎，而且在現代分析以及概率論等許多數學領域中也有着廣泛的應用。

測度的定義域，測度論中的基本概念。設F是基本空間Ω上的σ代數，稱(Ω，F)為可測空間，而稱F中的元素A是(Ω，F)中的可測集，也稱為Ω中的F可測集，簡稱可測集。例如，當F是R中的波萊爾集類B時，(R，B)稱為波萊爾可測空間。當F是R中的勒貝格可測集類L時，(R，L)稱為勒貝格可測空間。可測空間是測度的定義域，在一個可測空間上可以定義不止一種測度。 ^[2]