波萊爾集類

由R”中半開區間組成的半環所生成的。代數，稱為R”上的波萊爾集類.也可定義為R”中的閉集(開集)全體生成的。代數，它是由波萊爾(Borel ,(F. -E. -J. -)E.)於1898年引人的，故以此而命名。

這種集類在測度論、概率論、遍歷理論等數學分支中均有廣泛應用。在一般拓撲空間中可類似地引人波萊爾集類。

波萊爾集，在一個拓撲空間中，從所有的開集出發，通過取補集，可數並，可數交等運算，構造出來的所有集合，統稱為這一個空間中的波萊爾集。

在數學中，對波萊爾集的研究主要是在描述集合論中。但是，大學數學系的學生通常是在實變函數論的課程中最早接觸到波萊爾集。

波萊爾集可以分成很多的層次。通常把開集和閉集定義為第一層。可數的開集的交集，可數個閉集的並集為第二層。依此類推，總的層次超過了可數層。

波萊爾集是由開集或閉集通過取並，取交或者取補形成的拓撲空間中的任何集合。

對於拓撲空間X，X上的所有波萊爾集的集合形成σ-代數，稱為波萊爾代數或波萊爾σ-代數。 X上的波萊爾代數是包含所有開集（或所有閉集）的最小σ-代數。

波萊爾集在測度論中是很重要的，因為任何度量都在該空間上的開集和閉集以及波萊爾集上定義。在波萊爾集上定義的任何測度都被稱為波萊爾測度。 波萊爾集和相關的波萊爾層也在集合理論中發揮關鍵性作用。

在某些情況下，波萊爾集被定義為由拓撲空間的緊集而不是開集生成。這兩個定義對於許多空間（包括所有豪斯多夫σ-緊集）來説是等價的，但在病態空間中可以是不同的。

在古爾薩、龐加萊等人關於分式級數∑An/(z-an)研究的基礎上，波萊爾對其進行了深入研究，提出半單演函數理論。基於原始文獻，深入探討了波萊爾在單演函數理論上的工作，分析了其思想背景、思想的演變過程以及影響，這對揭示單演函數理論的歷史發展有一定作用 ^[1]  。

波萊爾在測度理論方面的工作奠定了現代測度理論和積分理論發展的基礎，對勒貝格的積分工作有重要影響。他利用零測集理論和構造性方法給出了與勒貝格不同的積分理論，這一點很少有相關文章和著作進行介紹。基於原始文獻，利用歷史分析和比較的方法對波萊爾的積分理論進行探討，對理解積分理論的歷史發展有重要意義 ^[2]  。