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譜算子
鎖定
- 中文名
- 譜算子
- 外文名
- spectral operator
- 適用範圍
- 數理科學
譜算子定義
譜算子是由鄧福德（N.Dunford）於 20 世紀 50年代引入的，是矩陣若爾當型在無限維的推廣。
①
；
②
；
③
在
上是一致有界的，即存在
，使得
，則稱 T 為譜算子，稱
為 T 的譜分解。
譜算子的譜分解是唯一的。若譜測度 E 具有緊支集
，則稱算子
為純量算子 (scalar operator)。T 是譜算子，N 是廣義冪零算子且
。
類似地，將條件①變為
，則可以定義無界的譜算子。
譜算子簡介
自伴算子譜論是對稱矩陣酉等價理論的推廣，而對一般的矩陣，則問題歸結於刻畫其完全的相似不變量。至於希爾伯特空間上的非正規算子以至巴拿赫空間上的一般算子的譜論，從理論和應用來看雖然都很重要，但是處理起來十分困難。
例如和這件事有關的不變子空間問題，從J.馮·諾伊曼的研究到現在已有半個世紀，進展仍不大。其次，即使解決了不變子空間問題，對許多算子也還難於有一個能與自伴算子譜論相比擬的完全的譜分析。
遠在20世紀之初，G.D.伯克霍夫等便已研究過一類非自伴的常微分算子的特徵展開問題，並且討論了它的特徵展開的收斂性。 F.（F.）里斯和後來的И.М.蓋爾範德等人則開展了取值於巴拿赫空間的複變函數論並用於研究一般算子的譜論。30年代末，K.O.弗里德里希斯為研究連續譜擾動而提出了相似方法。正是在以上這些工作的基礎上，N.鄧福德在50年代創立了譜算子理論。
譜算子譜測度
設B為複平面C上波萊爾子集構成的σ代數。
若E是從B到巴拿赫空間X上射影算子族之同態映射，並且E(·)還是一致有界的，即E(C)=I，E(C \σ)=I-E(σ)，
‖E(σ)‖≤K（常數） (σ∈B)，則稱{E(σ)|σ∈B}為譜測度。這裏算子A∨B=A+B-AB。
譜算子條件
研究一個算子是譜算子的條件，當然很重要。自伴算子理論已經指出這類問題的困難和一些可能進攻的途徑。這裏擾動的方法是常用的，據此人們把前述伯克霍夫等人的工作推廣到一類譜算子上去。
