同餘類

兩個整數

，

，若它們除以正整數

所得的餘數相等，則稱

，

對於模

同餘

記作

讀作

同餘於

模

，或讀作

與

關於模

同餘。

比如

。

同餘於的符號是同餘相等符號≡。統一碼值為 U+2261。但因為方便理由，人們有時會把它(誤)寫為普通等號 (=)。 ^[1] 

如同任何同餘關係，對於模

同餘是一種等價關係，整數

的等價類是一個集合

，標記為

。由對於模

同餘的所有整數組成的這個集合稱為同餘類（congruence class或residue class）；假若從上下文知道模

，則也可標記為

。

同餘類中的每個元素都可以拿來代表該同餘類，稱為該同餘類的代表數（英語：representative）。 ^[2] 

餘數系統（英語：residue system）亦即模n同餘類的代表數的集合，通常使用的代表數是最小非負整數，因為它是除法中的應當餘數。要注意的是，對於同一個模數n，不同的同餘類不等價，亦即，屬於不同同餘類的整數不同餘於模數n，或者説，模n餘數系統中的任二元素不同餘於模n；而且，整數域中的每個整數只屬於模數n的一個同餘類，因為模n將整數域劃分為互斥區塊，每個區塊是一個同餘類。

一個完整餘數系統（英語：complete residue system）指的是模n的全部同餘類的代表數的集合；因為餘數系統中的任二元素不同餘於模n，所以它也稱為非同余余數的完整系統（英語：complete system of incongruent residues）。例如，模3有三個同餘類

，其完整餘數系統可以是

。如果該集合是由每個同餘類的最小非負整數所組成，亦即

，則稱該集合為模n的最小余數系統（英語：least residue system）。

模n完整餘數系統中，與模n互質的代表數所構成的集合，稱為模n的簡約餘數系統（英語：reduced residue system），其元素個數記為

，亦即歐拉函數。例如，模

的簡約餘數系統為

或

。如果模n是質數，那麼它的最小簡約餘數系統是

，只比最小余數系統少一個0。 ^[3] 

（即是説 a 和 b 之差是 m 的倍數）

換句話説，

同餘可以用來檢驗一個數是否可以整除另外一個數，見整除規則。

這性質更可進一步引申成為這樣：

若

且

互質，則

模數算術在數論、羣論、環論、紐結理論、抽象代數、計算機代數、密碼學、計算機科學、化學、視覺和音樂等學科中皆有應用。

它是數論的立基點之一，與其各個面向都相關。

模數算術經常被用於計算標識符中所使用的校驗和，比如國際銀行賬户號碼（IBANs）就用到了模97的算術，來捕獲用户在輸入銀行賬户號碼時的錯誤。

於密碼學中，模數算術是RSA與迪菲－赫爾曼密鑰交換等公鑰系統的基礎，它同時也提供有限域，應用於橢圓加密，且用於許多對稱密鑰加密中，包括高級加密標準、國際資料加密算法等。

於計算機科學, 同餘被應用於位元運算或其他與固定寬度之循環數據結構相關的操作。

於化學中,CAS號（一個對各種化合物皆異之的識別碼）的最後一碼為校驗碼，將CAS號首二部分最後的數字乘上一，下一碼乘上二，下一碼乘上三以此類推，將所有積加起來再取模10。

在音樂領域，模12用於十二平均律系統。

星期的計算中取模7算術極重要。

更廣泛而言，同餘在法律、經濟（見賽局理論）或其他社會科學領域中也有應用。 ^[3]