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十二平均律

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十二平均律(12-Tone Equal Temperament,12-TET)又稱十二等程律,是將一個八度音程等分成十二個半音律制,各相鄰兩律之間的波長之比完全相等。十二平均律是由中國明朝皇族世子朱載堉發明。 [3] 
十二平均律是指八度的音程按波長比例平均分成十二等份,一等份為一個半音(小二度)。兩等份為一個全音大二度)。將一個八度分成12等份有着驚人的一些巧合,這是因為它的純五度音程的兩個音的波長比為(1/2)^(7/12)≈0.6674,與2/3≈0.6667非常接近。
十二平均律在交響樂隊鍵盤樂器(例如鋼琴)中得到廣泛使用。
中文名
十二平均律
外文名
12-equal temperament
發明人
朱載堉

十二平均律簡介

“十二平均律”的純四度和大三度,兩個音的波長比分別與3:4和4:5比較接近。也就是説,“十二平均律”的幾個主要的和絃音符,都跟自然泛音序列中的幾個音符相符合的,只有極小的差別,這為小號等按鍵吹奏樂器在樂隊中使用提供了必要條件,因為這些樂器是靠自然泛音級(自然泛音序列,其波長是基音波長的整數分之一序列)來形成音階的。半音是十二平均律組織中最小的音高距離,全音由兩個半音組成。一個八度分成12份,半音1份,全音2份。
十二平均律在交響樂隊鍵盤樂器中得到廣泛使用,因為十二平均律能方便地進行移調。曲調由音階組成,音階由音組成。音具有絕對音高相對音高。聲音是機械波,而機械波的波長由弦長等因素決定,且成正比關係。不同的音具有不同的波長。人們選取一定波長的音來形成音樂體系所需要的音高。
十二平均律簡而言之,就是把半根琴絃按照等比數列平均分成十二份。一根琴絃的長度設為1,可以表示為(1/2)^(0/12),第一點的位置是(1/2)^(1/12),第二點的位置是(1/2)^(2/12),依此類推,第n點的位置是(1/2)^(n/12)。因為這樣的一組音是等比關係,所以無論從哪個位置開始彈起旋律都是一樣的。 [1-2] 
十二平均律計算 十二平均律計算
十二平均律的半音,比五度相生律的半音大,比純律小。因此,使用十二平均律奏和絃不純,奏旋律導向性不夠,所以在樂曲的演奏中,尤其在樂隊多聲部合奏的時候,實際上是多律並用的,根據實際情況,在演奏過程中,偏向哪一種律制,並不是一成不變的。
根據十二平均律所有半音都相等的特點,因此還產生了“等音”的概念。
鋼琴上每相鄰的兩個琴鍵(黑白都算)的差別,音樂上即為半音。比如説C和♯C相差半音,C和D相差全音(兩個半音),以此類推。如果B再往上升半音,會發現這個音的波長剛好是C的一半,而在音樂上稱為一個八度,這兩個音聽起來“很相似”。用小寫的c來表示它,依次有♯c,d……再往上走可以用c1……,c2……來表示,而往下走可以用大寫的C1……,C2……來表示。

十二平均律歷史

據説十二平均律是在16世紀由明朝皇族世子朱載堉發明。由於波長與弦長之間存在正比關係,因此波長關係可以轉化為弦的長短關係。所以即使在16世紀,那個西方物理學才剛剛起步,還沒有發現機械波的時代,中國明朝皇族世子朱載堉就利用數學計算能力,發現了這一近似值規律,這也是一件十分偉大和令人讚歎的事。
明朝中葉,皇族世子朱載堉發明以珠算開方的辦法,求得律制上的等比數列,具體説來就是:用發音體的長度計算音高,假定黃鐘正律為1尺,求出低八度的音高弦長為2尺,然後將2開12次方得波長公比數1.059463094,該公比自乘12次即得十二律中各律音高,且黃鐘正好還原,這在物理學上就剛好對應了波長的比例關係。朱載堉用這種方法第一次解決了十二律自由旋宮轉調的千古難題。
鋼琴根據十二平均律調律 鋼琴根據十二平均律調律
在朱載堉發表十二平均律理論之後52年,Pere Marin Mersenne在(1636年)其所著《諧聲通論》中發表相似的理論。

十二平均律物理

十二平均律波長和絃長

古人對於聲現象的認識比較膚淺,根本不知道聲音是機械波,也不可能存在現代的標準音的概念。但是由於在聲現象中,弦長與物理上的波長掛鈎,波長又與音調掛鈎,因此古人實際上是利用物理上的弦長和波長的比例關係,來進行音律設計的,這一點充分體現了古人的智慧。
所有的波(包括機械波電磁波引力波等)都有三個最本質的特性:頻率/波長、振幅、相位。對於機械波(聲波)來説,在相同聲速下,機械波的波長決定了這個音的音調,機械波的振幅決定了這個音的大小(強度),而人耳對於相位不敏感,所以研究音樂時一般不考慮機械波的相位問題

十二平均律波長比例

採用十二平均律的現代流行歌曲 採用十二平均律的現代流行歌曲
由於絃樂器是世界各地發展得最早的樂器種類之一,加上波長和絃長的正比關係,所以這種現象古人早已熟悉。他們自然會想試試按其它的位置。數學上1:2是最簡單的比例關係了,簡單性僅次於它的就是1:3。如果按住弦的1/3點,其結果是弦發出了兩個高一些的音。一個音的波長是原來的1/3(因為弦長變成了原來的1/3),另一個音是原來的2/3(因為弦長變成了原來的2/3)。這兩個音彼此也是八度音程的關係(因為它們彼此的弦長比是2:1)。這樣,在λ/2-λ的範圍內,出現了第一個重要的波長,即2/3λ,也就是五度關係。(那個λ/3的波長正好處於下一個八度,即λ/4-λ/2中的同樣位置。)
接着再試,數學上簡單性僅次於1:3的是1:4,按弦的1/4點,又出現了兩個音。一個音的波長是原來的1/4(因為弦長變成了原來的1/4),這和原來的音(術語叫“主音”)是兩個八度音程的關係,可以不去管它。另一個音的波長是主音的3/4(因為弦長是原來的3/4)。3/4λ是一個重要的波長。同一根弦,在不同的情況下發出機械波,可以發出很多波長的聲音。在聽覺上,與主音λ最和諧的就是2/3λ和3/4λ(除了主音的各個八度之外)。
這個現象也被很多民族分別發現了。比如最早從數學上研究弦的長度問題的古希臘哲學家畢達哥拉斯(Pythagoras,約公元前6世紀)。我國先秦時期的《管子·地員篇》、《呂氏春秋·音律篇》也記載了所謂“三分損益律”。具體説來是取一段弦,“三分損一”,即均分弦為三段,舍一留二,便得到2/3λ。如果“三分益一”,即弦均分三段後再加一段,便得到3/4λ。
因為聽覺上1/5λ、1/6λ與主音的和諧程度遠不及2/3λ、3/4λ。古人於是換了一種方法。與主音λ最和諧的2/3λ已經找到了,他們轉而找2/3λ的2/3λ,即與最和諧的那個音最和諧的音,這樣就得到了(2/3)^2λ即4/9λ。這已經低於了λ/2的範圍,進入了左邊一個八度,但下一個八度中的音,在這一個八度中當然有與它等價的一個音,於是把4/9λ的波長加倍,便得到了8/9λ。
接着把這個過程循環一遍,找2/3的3次方,於是就有了8/27λ,這也在左邊一個八度中,再次波長加倍,得到了16/27λ。
最理想的情況是某一次循環之後,會得到主音的某一個八度,這樣就算是“回到”了主音上,不用繼續找下去了。可是(2/3)^n,只要n是自然數,其結果都不會是整數,更不用説是2的某次方。律學所有的麻煩就此開始。

十二平均律數學

十二平均律近似思想

回到計算不相等的問題,數學上不可能的事,只能從數學上想辦法。古人的對策就是“取近似值”。他們注意到(2/3)^5≈0.1317,和(1/2)^3=0.1250很接近(乍一看並不接近,但取倒數後就比較接近了,前者是1/7.594,後者是1/8.000),於是決定這個音就是他們要找的最後一個音,比這個音再高一點就是主音的第三個八度了。這樣,從主音λ開始,只需按2:3比例尋找最和諧音”這個過程循環5次,得到了5個音,加上主音和3/4λ,一共是7個音。這就是為什麼音律上要取do、re、mi等等7個音符而不是6個音符或者8個音符的原因。
這7個音符的波長,從長到短分別是λ、8/9λ、64/81λ、3/4λ、2/3λ、16/27λ、128/243λ。 如果這裏的λ是do,那麼8/9λ就是re、64/81λ就是mi……,這7個波長組成了7聲音階。這7個音都有各自正式的名字,在西方音樂術語中,它們分別被叫做主音(tonic)、上主音supertonic)、中音(mediant)、下屬音subdominant)、屬音(dominant)、下中音submediant)、導音(leading tone)。其中和主音關係最密切的是第5個“屬音”so和第4個“下屬音”fa,原因前面已經説過了,因為它們和主音的和諧程度分別是第一高和第二高的。由於這個音律主要是從“屬音”so即2/3λ推導出來的,而2:3這個比例在西方音樂術語中叫“純五度”,所以這種音律叫做“五度相生律”。
西方最早提出“五度相生律”的是古希臘畢達哥拉斯(所以西方把按2:3比例定音律的做法叫做Pythagorean tuning),東方是《管子》一書的作者(不一定是管仲本人)。我國曆代的各種音律,大部分也都是從“三分損益律”發展出來的,也可以認為它們都是“五度相生律”。
仔細看上面“五度相生律”7聲音階的波長,可以發現它們彼此的關係很簡單:do-re、re-mi、fa-so、so-la、la-si 之間的波長比都是8:9,這個比例被稱為全音(tone);mi-fa、si-do之間的波長比都是243:256,這個比例被稱為半音semitone)。
“五度相生律”產生的7聲音階,自誕生之日起就不斷被批評。原因之一就是它太複雜了。前面説過,如果按住弦的1/5點或者1/6點,得到的音已經和主音不怎麼和諧了,居然出現了64:81和128:243這樣的比例,於是有人開始對這7個音的波長做點調整,於是就出現了“純律”(just intonation)。
“純律”的重點是讓各個音儘量與主音和諧起來,也就是説讓各個音和主音的波長比儘量簡單。“純律”的發明人是古希臘學者塔壬同(今意大利南部的塔蘭託城)的亞理斯托森努斯(Aristoxenus of Tarentum)。(東方似乎沒有人獨立提出“純律”的概念。)此人是亞里士多德的學生,約生活在公元前3世紀。他的學説的重點就是要靠耳朵,而不是靠數學來主導音樂。他的書籍留下來的只有殘篇,不過可以證實的是他提出了所謂“自然音階”。
自然音階也有7個音,但和“五度相生律”的7聲音階有不小差別。7個自然音階的波長分別是:λ、8/9λ、4/5λ、3/4λ、2/3λ、3/5λ、8/15λ。確實簡單多了,也確實好聽多了。這麼簡單的比例,就是“純律”。
可以看出“純律”不光用到了2:3的比例,還用到了4:5的比例。新的7個波長中和原來不同的就是4/5λ、3/5(=4/5×3/4)λ、8/15(=4/5×2/3)λ。
雖然“純律”的7聲音階比“五度相生律”的7聲音階要好聽,數學上也簡單,但它本身也有很大的問題。雖然各個音和主音的比例變簡單了,但各音之間的關係變複雜了。原來“五度相生律”7聲音階之間只有“全音”和“半音”2種比例關係,如今出現了3種:8:9(被叫做“大全音”,major tone,就是原來的“全音”)、9:10(被叫做“小全音”,minor tone)、15:16(新的“半音”)。各位把自然音階的波長互相除一下就能得到這個結果。更進一步説,如果比較自然音階中的re和fa,其波長比是27:32,這也不怎麼簡單,也不怎麼好聽。所以説“純律”對“五度相生律”的修正是不徹底的。事實上,“純律”遠沒有“五度相生律”流行。
對於“五度相生律”的另一種修正是從另一個方向展開的。取7個音符是因為數學上的近似,可這畢竟是近似值,而不是完全相等。在一個八度之內,這麼小的差距也許沒什麼,但是如果樂器的音域跨越了好幾個八度,那麼這種近似就顯得不怎麼好了。於是人們開始尋找更好的近似值。
通過計算,古人發現(2/3)^12≈0.0077073,和(1/2)^7=0.0078125很接近(取倒數分別為1/129.7和1/128),於是他們把“五度相生律”中“按2:3比例尋找最和諧音”的循環過程重複12次,便認為已經到達了主音的第7個八度。再加上原來的主音和3/4λ,如今就有了12個音符。 注意,“規範”音階不是7個音符了,而是12個音符。這種經過修改的“五度相生律”推出的12聲音階,其波長分別是:λ、2048/2187λ、8/9λ、16384/19683λ、64/81λ、3/4λ、512/729λ、2/3λ、4096/6561λ、16/27λ、32768/59049λ、128/243λ。
和前面的“五度相生律”的7聲音階對比一下,可以發現原來的7個音都還在,只是多了5個,分別插在它們之間。用字母音名稱呼原來的7個音符,分別是C、D、E、F、G、A、B,新的5個音符是C♯、D♯、F♯、G♯、A♯(也可以寫作D♭、E♭、G♭、A♭、B♭)。12音階分別叫作:C、C♯、D、D♯、E、F、F♯、G、G♯、A、A♯、B。把相鄰兩個音符的波長互相除一下,就會發現它們之間的比例只有兩種:243:256(就是原來的“半音”,也叫作“自然半音”),2048:2187(這被叫作“變化半音”)。
也就是説,這12個音符幾乎可以説又構成了一個等比數列。它們之間的“距離”幾乎是相等的。(當然,如果相鄰兩個音符之間的比例只有一種的話,就是嚴格的“距離”相等了。)原來的7聲音階中,C-D、D-E、F-G、G-A、A-B之間都相隔一個“全音”,如今則認為它們之間相隔了兩個“半音”。這也就是“全”、“半”這種叫法的根據。
西漢著名學者京房(77BC-47BC)發現(2/3)^53和(1/2)^31也很接近,這個計算量對常人而言是難以想象的,但是他算出來了,於是提出了一個53音階的新音律。要知道古人並沒有計算器,計算這樣的高次冪問題對他們來説是相當麻煩的。
當然,京房的新律並沒有流行開,原因就是53個音階太麻煩。但是這種努力是值得肯定的,也説明12聲音階也不完美,也確實需要改進。
“五度相生律”的12聲音階中的主要問題是,相鄰音符的波長比例有兩種(自然半音和變化半音),而不是一種。而且兩種半音彼此差距還不小。(2048:2187)/(243:256)≈0.9865。好像差不多,但其實自然半音本身就是243:256≈0.9492了。
如果12聲音階是真正的等比數列的話,每個半音就應該是相等的,各個音階就應該是“等距離”的。也就是説,真正的12聲音階可以把一個八度“等分”成12份。之所以這麼強調“等分”、“等距離”,是因為在音樂的發展過程中,人們越來越覺得有“轉調”的必要了。
所謂轉調,其實就是用不同的音高來唱同一個旋律。比方説,如果某一個人的音域是C~高音C(也就是以前的do~高音do),樂器為了給他伴奏,得在C~高音C之內彈奏旋律;如果另一個人的音域是D~高音D(也就是以前的re~高音re),樂器得在D~高音D之內彈奏旋律。可是“五度相生律”的12聲音階根本不是等比數列,人們會覺得C~高音C之內的旋律和D~高音D之內的旋律不一樣。特別是如果旋律涉及到比較多的半音,這種不和諧就會很明顯。可以説,如果鋼琴是按“五度相生律”來決定各鍵的音高,那麼只要旋律中涉及到許多黑鍵,彈出來的效果就會一塌糊塗。
這種問題在絃樂器上比較好解決,因為絃樂器的音高是靠手指的按壓來決定的。演奏者可以根據不同的音域、旋律的要求,有意地不在規定的指位上按弦,而是偏移一點按弦,就能解決問題。可是鍵盤樂器(比如鋼琴管風琴羽管鍵琴等)的音高是固定的,無法臨時調整。
所以在西方中世紀的音樂理論裏,就規定了有些調、有些音是不能用的,有些旋律是不能寫的。而有些教堂的管風琴,為了應付可能出現的各種情況,就預先準備下許多額外的發音管。以至於有的管風琴的發音管有幾百甚至上萬根之多。這種音律規則上的缺陷,導致一方面作曲家覺得受到了限制,一方面演奏家也覺得演奏起來太麻煩。
問題的根源還是出在近似值上。“五度相生律”所依據的(2/3)^12畢竟和(1/2)^7並不完全相等。之所以會出現兩種半音,就是這個近似值造成的。
對“五度相生律”12聲音階的進一步修改,東、西方也大致遵循了相似的路線。比如東晉何承天(370AD-447AD),他的做法是把(2/3)^12和(1/2)^7之間的差距分成12份,累加地分散到12個音階上,造成一個等比數列。可惜這只是一種修補工作,並沒有從根本上解決問題。西方的做法也是把(2/3)^12和(1/2)^7之間的差距分散到其它音符上。但是為了保證主音C和屬音G的2:3的比例關係(這個“純五度”是一個音階中最重要的和諧,即使是在12聲音階中也是如此),這種分散註定不是平均的,最好的結果也是12音中至少有一個“不在調上”。如果把差距全部分散到12個音階上的話,就必須破壞C和G之間的“純五度”,以及C和F之間的3:4比例(術語是“純四度”)。這樣一來,雖然方便了轉調,但代價就是音階再也沒有以前好聽了。因為一個八度之內最和諧的兩個關係――純五度和純四度――都被破壞了。
一直到文藝復興之前,西方音樂界通行的律法叫“平均音調律”(Meantone temperament),就是在保證純五度和純四度儘量不受影響的前提下,把(2/3)^12和(1/2)^7之間的差距儘量分配到12個音上去。這只是一種無可奈何的妥協,大家其實都在等待新的音律出現。
終於還是有人想到了徹底的解決辦法:直接就把1:2這個比例關係開12次方,也就是説,真正的半音比例應該是¹²√2。如果12音階中第一個音的波長是λ,那麼第二個音的波長就是(1/2)^(1/12)λ(根式可以用分數指數冪來表示),第三個音就是(1/2)^(2/12)λ,第四個音是(1/2)^(3/12)λ,……,第十二個是(1/2)^(11/12)λ,第十三個就是(1/2)^(12/12)λ,就是λ/2,正好是λ的八度。這是“轉調”問題的完全解決。有了這個新的音律,從任何一個音彈出的旋律可以複製到任何一個其它的音高上,而對旋律不產生影響。西方巴洛克音樂中,復調音樂對於多重聲部的偏愛,有了這個新音律之後,可以説不再有任何障礙了。後來的古典主義音樂,也間接地受益匪淺。可以説沒有這個新的音律的話,後來古典主義者、浪漫主義者對於各種音樂調性的探索都是不可能的。
這種新的音律就叫“十二平均律”。首先發明它的是一位中國人,叫朱載堉(yù)。他是明朝的一位皇室後代,生於1536年,逝世於1611年。他用珠算開方的辦法(珠算開12次方,難度可想而知),首次計算出了十二平均律的正確半音比例,其成就見於所著的《律學新書》一書。很可惜,他的發明,和中國古代其它一些偉大的發明一樣,被淹沒在歷史的塵埃之中了,很少被後人所知。但是,這也充分體現了中國古人對於世界發展的偉大貢獻。
西方人提出“十二平均律”,大約比朱載堉晚50年左右。不過很快就傳播、流行開來了。主要原因是當時西方音樂界對於解決轉調問題的迫切要求。當然,反對“十二平均律”的聲音也不少。主要的反對依據就是“十二平均律”破壞了純五度和純四度。不過這種破壞程度並不十分明顯。

十二平均律波長計算

“十二平均律”的12聲音階的波長(近似值)分別是:
  1. 1.0000λ=λ/1.000(標準音
  2. 0.9439λ=λ/1.059
  3. 0.8909λ=λ/1.122
  4. 0.8409λ=λ/1.189
  5. 0.7937λ=λ/1.260
  6. 0.7492λ=λ/1.335
  7. 0.7071λ=λ/1.414
  8. 0.6674λ=λ/1.498
  9. 0.6300λ=λ/1.587
  10. 0.5946λ=λ/1.682
  11. 0.5612λ=λ/1.782
  12. 0.5297λ=λ/1.888
注意,所有的半音都一樣了,都是¹²√2,即1.059。以前的自然半音和變化半音的區別沒有了。另外,原來“五度相生律”的12音階中,C和G的比例是2:3(即純五度),“十二平均律”的12音階中,C和G的比例是0.6674,和純五度所要求的2:3(0.6667)非常接近。原來“五度相生律”的12音階中,C和F的比例是3:4(即純四度),“十二平均律”的12音階中,C和F的比例是0.7492,和純四度所要求的3:4(0.7500)也非常接近。所以“十二平均律”基本上保留了“五度相生律”最重要的特性。又加上它解決了轉調問題,所以後來“十二平均律”基本上取代了“五度相生律”的統治地位。鋼琴就是按“十二平均律”來確定各鍵音高的。學生們學習的do、re、mi也是按“十二平均律”修改過的7聲音階。如果想聽“五度相生律”或者“純律”的do、re、mi,已經很不容易了。
將八度音等分為十二等分,其數學意義如下:
八度音指的是波長減半(即半波長)。因此在八度音中分為十二等分乃是分為十二個等比級數,其結果就是每個音的波長為前一個音的2開12次方分之一(¹²√2≈1.059463)。
理論上來説,所有樂器的音準只需要儀器來校準。但是實踐證明,人感覺上的音階會存在個體差異,所以樂器的調音師是不可被儀器替代的。
參考資料
  • 1.    李重光.音樂理論基礎.北京:人民音樂出版社,1962年10月:9-9
  • 2.    李重光.基本樂理簡明教程.北京:人民音樂出版社,1770 (2015重印):6-7
  • 3.    徐飛,柯資能著. 中國科學技術[M]. 合肥:安徽教育出版社, 2003.11:150