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同餘關係

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同餘關係是代數系統的集合中的等價關係，並且在運算的作用下，能夠保持關係的等價類。以二元運算為例，在a₁*a₂中，如果用集合S中與a₁等價的任何其他元素b₁代換a₁，並且用與a₂等價的任何其他元素b₂代換a₂，則所求的結果b₁*b₂與a₁*a₂位於同一等價類之中。此外，同餘關係與運算密切相關。如果一個代數結構中有多個運算，則需要考察等價關係對於所有這些運算是否都有代換性質。如果等價關係在一個運算上不滿足代換性質，該等價關係就不是代數系統上的同餘關係。 [1] 
中文名
同餘關係
外文名
cougruence relation
所屬學科
數學
相關概念
商代數，同態等

目錄

  1. 1 同餘關係的意義
  2. 2 同態與同餘關係
  3. ▪ 性質
  1. ▪ 定理1
  2. 3 同餘關係的應用
  3. ▪ 定義
  1. ▪ 定理2
  2. ▪ 定理3
  3. ▪ 定理4

同餘關係同餘關係的意義

設~為代數結構
的載體S上的等價關係，稱~為s上關於一元運算△的同餘關係(congruence relation)，如果對S中的任何元素a，b，
藴含
稱~為S上的關於二元運算* 的同餘關係，如果對S中的任何元素a，b，c，d，
藴含
當～關於
中一元運算△、二元運算* 均為同餘關係時，便稱～為
上的同餘關係，等價類
_ 又稱為同餘類。
在同餘關係的定義中，式(
藴含
)還可以改為：對S中的任意元素a，b，c，
藴含
且

同餘關係同態與同餘關係

同餘關係性質

如果函數
是
到
的同態映射，那麼h導出的S上如下定義的關係
，必定是
上的同餘關係：

同餘關係定理1

設h是
到
的同態映射，那麼等價關係
是代數結構
上的同餘關係。

同餘關係同餘關係的應用

同餘關係定義

設S上的等價關係~為
上的同餘關係，定義S/~上的一元運算@和二元運算
如下，對任意
，
@
那麼代數結構<S/~，@，
>稱為
的關於~的商代數(quotient algebra)。

同餘關係定理2

設<S/~,@,
>為
的關於~的商代數，那麼
(1)若
運算滿足結合律、交換律，則
運算也滿足結合律、交換律；
(2)若
運算有幺元e(零元o)，則
以
為幺元(以[o]為零元)；
(3)若
有關於
運算的逆元
，則
有關於
運算的逆元[
]。
在代數結構
與其商代數<S/~，@，
>之間，存在一個有趣的同態映射，稱為規範映射，定義如下：

同餘關係定理3

設~為
上的同餘關係，那麼規範映射
為
到其商代數<S/~，@，
>的一個同態。

同餘關係定理4

設h為
到
的同態，~為h導出的
的同餘關係，那麼商代數<S/~，@，
>與同態像
同構。 [2] 
參考資料
  • 1.    曹曉東．離散數學及算法 第2版=DISCRETE MATHEMATICS AND ALGORITHMS SECOND EDITION：機械工業出版社，2013.08
  • 2.    宋麗華，沈克勤，王兆麗等．離散數學教程教程綱要及題解：高等教育出版社，2012.03