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史瓦西度規
鎖定
史瓦西度規數學定義
史瓦西度規形成過程
史瓦西度規廣義相對論的提出
- 愛因斯坦在1905年發表了一篇探討光線在狹義相對論中,重力和加速度對其影響的論文,廣義相對論的雛形就此開始形成。
- 1912年,愛因斯坦發表了另外一篇論文,探討如何將重力場用幾何的語言來描述。至此,廣義相對論的運動學出現了。
史瓦西度規場方程的提出
- 1915年,愛因斯坦引力場方程發表了出來,整個廣義相對論的動力學才終於完成。
- 1915年後,廣義相對論的發展多集中在解開場方程式上,解答的物理解釋以及尋求可能的實驗與觀測也佔了很大的一部份。但因為場方程式是一個非線性偏微分方程,很難得出解來,所以在電腦開始應用在科學上之前,也只有少數的解被解出來而已。其中最著名的有三個解:史瓦西解、 雷斯勒——諾斯特朗姆解、克爾解。
史瓦西度規推導過程
愛因斯坦引力場確立以後,史瓦西首先求出了真空場方程:
(以下一直採用
的自然單位制)
採用球座標
,由球對稱的度規場中已知的結論
可知,度規分量有形式
所有非對角分量為零,再可以解出
先按照公式
其中的
和
分別是
和
對
的微商,即導數.然後可以按定義得出以下的式子
這樣真空場方程具體化為
用
減去
得出:
立解的下式:
將
式代入
式消去
,得
對比上三式,可以看出
.相應把不變距離公式寫成
值得一提的是,1914年,第一次世界大戰爆發,史瓦西雖然已經年過40,仍然參加了德軍,而且達到炮兵上尉的軍銜。正是在俄國戰場前線,史瓦西得到了引力場方程的第一個精確解,並在1915年12月22日將結果寄給了愛因斯坦。愛因斯坦對史瓦西的結果極為讚賞,特別是之前愛因斯坦本人只得到了引力場方程的近似解,並以此對水星的近日點進動進行了解釋。
史瓦西度規重要性及其意義
有兩條理由使得史瓦西時空幾何極為重要。
1、它是對太陽系中引力場的一個很好的描述。太陽本身近乎球形,其周圍物質的質量很小,以至於可以被看作真空,太陽系中所有光線和行星、彗星等物體的運動軌道因而就是史瓦西彎曲時空的測地線。這些運動軌道能被計算出來,並與經過太陽附近的光線和行星近日點進動的觀測值精確相符,而這些現象是牛頓引力理論所不能解釋的。
史瓦西解描述了一個靜止的、不帶電的、球對稱的天體外部的引力場,或者説是其外部時空的彎曲情況,通常稱之為史瓦西外部解或史瓦西度規。
史瓦西解得出的引力場與牛頓引力場有一個很重要的共同點.球外的引力場只取決於引力源的總質量,而與引力源的大小和物質密度隨r的分佈無關.因此若只觀測這種引力場,我們只能推知源的總質量,而不能獲得關於源的其他信息。
[1]
史瓦西度規史瓦西半徑
隨着向點狀引力源的趨近,時空幾何出現奇異行為。更驚奇的是,奇異性在臨界距離
處開始出現,這裏M是中心星的質量,G是牛頓的萬有引力常數,c是光速(以下將這個公式簡化為r=2M),這個臨界距離與引力質量成正比,對太陽質量是3公里,對100萬倍太陽質量是300萬公里,對地球則是1釐米(9mm)。這個距離就叫做史瓦西半徑,它不是別的,正是按照牛頓方式計算的表面逃逸速度達到光速的星體尺度。
按照史瓦西解,在臨界半徑r=2M以內,空間和時間都喪失了自己的特徵。在這個半徑以內用以測量距離和時間的規則都失效了,時間變成0,而距離趨於無限。
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