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可表函子
鎖定
可表函子定義
可表函子定義1
設D有小態射集。則函子K:D→Set的表示為對<r,φ>,其中r∈Ob(D),φ:D(r,-)≅K為自然同構。r稱為表示對象。若K存在表示,則K稱為可表函子。所以在同構的意義下,可表函子就是共變Hom函子D(r,-)。
[1]
可表函子定義2
函子F是可表函子,當且僅當存在C中某個對象A使得F自然同構於Hom(A,X)。而滿足
為自然同構的對(A,Φ)則稱為F的一個表示。
可表函子泛元素
給出。反之,給定元素
,可以如下定義自然變換
其中 f 是Hom (A,X)中的任意元素。為了得到 F 的表示,我們需要確定 u誘導的自然變換何時會是同構。這引導出如下定義:
函子
的泛元素是由C中的對象 A與 F(A) 中的元素 u 組成的一對 (A,u),使得對於任意滿足
的對 (X,v),都存在唯一映射
使得
。
可表函子性質
可表函子唯一性
函子的表示在同構的意義下唯一。
換言之,如果
與
表示同一個函子,那麼存在唯一的同構
使得
用泛元素的語言表述如下:如果
與
表示同一個函子,那麼存在唯一的同構
使得
可表函子保極限性
可表函子自然同構於Hom函子,因而享有許多後者的性質。尤其值得注意的是,(協變)可表函子保持所有極限。由此可得,未能保持某些極限的函子都不是可表的。
相似地,反變可表函子把餘極限映到極限。
可表函子左伴隨
反之,如果
由對(A,u)表示,且 A 的任意上冪在
中都存在,那麼
擁有左伴隨F,後者將任意集合 I映到 A 的I 次上冪。
所以,如果
是帶所有上冪的範疇,則函子
是可表的當且僅當它擁有左伴隨。
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