反雙曲函數

我們知道，三角函數分為sin（正弦）、cos（餘弦）、tan（正切）、cot（餘切）、sec（正割）、csc（餘割）六種。而雙曲函數也如此。故而，反雙曲函數也有六種。有反雙曲正弦、反雙曲餘弦、反雙曲正切、反雙曲餘切、反雙曲正割、反雙曲餘割六種。這裏，就介紹比較常見的前三種：反雙曲正弦、反雙曲餘弦、反雙曲正切。

反雙曲函數是雙曲函數的反函數。記為（arsinh、arcosh、artanh等等）。與反三角函數不同之處是它的前綴是ar意即area(面積)，而不是arc(弧)。 ^[1] 

反雙曲正弦函數記作y=arsinhx。 ^[2] 

雙曲函數y=sinhx的定義是y=sinhx=

.那麼，取它的反函數，最終得到反雙曲正弦函數的定義是y=arsinhx=

。

反雙曲正弦函數的定義域為

。它是奇函數。在區間

內單調增加。

反雙曲正弦函數的導數是

。不定積分是

（不包含不定積分特有的常數C）。

反雙曲正弦函數的冪級數展開式是：

。

反雙曲餘弦函數記作y=arcoshx。 ^[2] 

雙曲函數y=coshx的定義是y=coshx=

.那麼，取它的反函數，最終得到反雙曲餘弦函數的定義是y=arcoshx=

。

反雙曲餘弦函數的定義域為

。它是非奇非偶函數。在區間

內單調增加。反雙曲餘弦函數的圖像如圖1所示。

反雙曲餘弦函數的導數是

。不定積分是

（不包含不定積分特有的常數C）。

反雙曲餘弦函數的冪級數展開式是：

=

。

反雙曲正切函數記作y=artanhx。 ^[2] 

雙曲函數y=tanhx的定義是y=tanhx=

.那麼，取它的反函數，最終得到反雙曲正切函數的解析式是y=artanhx=

。

反雙曲正切函數的定義域為

。它是奇函數。在區間

內單調增加。

反雙曲正切函數的導數是

。不定積分是

（不包含不定積分特有的常數C）。需要注意，在反雙曲正切的不定積分中，有條件

，此不定積分才能成立。

反雙曲正切函數的冪級數展開式是：

=

。

在數學中，雙曲函數類似於常見的（也叫圓函數的）三角函數。基本雙曲函數是雙曲正弦“sinh”，雙曲餘弦“cosh”，從它們導出雙曲正切“tanh”等。 ^{[3]  [4]} 

shx = (e^x - e^(-x)/2, (shx) ' =chx

chx = (e^x + e^(-x)/2, (chx) ' =shx

thx = shx / chx, (thx) ' = 1/(chx)^2 ^[3] 

arsinh x = ln[ x+ (x^2+1)^(1/2) ] , (arsinh x) ' = 1/ (x^2+1)^(1/2)

arcosh x = ln[ x+ (x^2-1)^(1/2) ] , (arcosh x) ' = 1/ (x^2-1)^(1/2)

artanh x =(1/2) [ ln(1+x)/(1-x) ], (artanh x) ' = 1/(1-x^2) ^[2]