卡爾·龍格

卡爾·龍格（CarlRunge1856年8月30日－1927年1月2日）

1880 年，他得到柏林大學的數學博士，是著名德國數學家，被譽為“現代分析之父”的卡爾·魏爾施特拉斯的學生。1886 年，他成為在德國漢諾威的漢諾威萊布尼茲大學的教授。

他的興趣包括數學，光譜學，大地測量學，與天體物理學。除了純數學以外，他也從事很多涉及實驗的工作。他跟海因裏希·凱瑟一同研究各種元素的譜線，又將研究的結果應用在天體光譜學。

1904 年，因為哥廷根大學教授，菲利克斯·克萊因的主動邀請，他同意去那裏教書。1925 年，他在哥廷根大學退休。

月球的龍格隕石坑(Runge crater) 是因他而命名的 ^[1]  。

數值分析中，龍格－庫塔法（Runge-Kutta）是用於模擬常微分方程的解的重要的一類隱式或顯式迭代法。這些技術由數學家卡爾·龍格和馬丁·威爾海姆·庫塔於1900年左右發明。

對於一階精度的歐拉公式有：

yi+1=yi+h*K1 　K1=f(xi,yi)

當用點xi處的斜率近似值K1與右端點xi+1處的斜率K2的算術平均值作為平均斜率K*的近似值，那麼就會得到二階精度的改進歐拉公式：

yi+1=yi+h*( K1+ K2)/2

K1=f(xi,yi)

K2=f(xi+h,yi+h*K1)

依次類推，如果在區間[xi,xi+1]內多預估幾個點上的斜率值K1、K2、……Km，並用他們的加權平均數作為平均斜率K*的近似值，顯然能構造出具有很高精度的高階計算公式。經數學推導、求解，可以得出四階龍格－庫塔公式，也就是在工程中應用廣泛的經典龍格－庫塔算法：

yi+1=yi+h*( K1+ 2*K2 +2*K3+ K4)/6

K1=f(xi,yi)

K2=f(xi+h/2,yi+h*K1/2)

K3=f(xi+h/2,yi+h*K2/2)

K4=f(xi+h,yi+h*K3)

通常所説的龍格-庫塔法是指四階而言的，我們可以仿二階、三階的情形推導出常用的標準四階龍格-庫塔法公式。龍格-庫塔法具有精度高，收斂，穩定（在一定條件下），計算過程中可以改變步長，不需要計算高階導數等優點，但仍需計算 在一些點上的值，如四階龍格-庫塔法每計算一步需要計算四次 的值，這給實際計算帶來一定的複雜性，因此，多用來計算“表頭” ^[2]  。

在計算方法中，有利用多項式對某一函數的近似逼近，這樣，利用多項式就可以計算相應的函數值。例如，在事先不知道某一函數的具體形式的情況下，只能測量得知某一些分散的函數值。例如我們不知道氣温隨日期變化的具體函數關係，但是我們可以測量一些孤立的日期的氣温值，並假定此氣温隨日期變化的函數滿足某一多項式。這樣，利用已經測的數據，應用待定係數法便可以求得一個多項式函數f（x）。應用此函數就可以計算或者説預測其他日期的氣温值。一般情況下，多項式的次數越多，需要的數據就越多，而預測也就越準確。例外發生了：龍格在研究多項式插值的時候，發現有的情況下，並非取節點（日期數）越多多項式就越精確。著名的例子是f（x）=1/(1+25x^2).它的插值函數在兩個端點處發生劇烈的波動，造成較大的誤差。究其原因，是舍入誤差造成的。

具體的情況可參考下列Mathematica程序：

n = 10; x = Range[-1, 1, 2/n]; y = 1./(1 + 25 x^2);

p =Transpose[{x, y}]; 　Clear[t];

f = LagrangeInterpolation[x, y, t];

Show[ 　Plot[{1./(1 + 25 t^2), f}, {t, -1, 1}], 　ListPlot[p, PlotStyle -＞PointSize[0.02]] 　]

在經典力學裏，拉普拉斯-龍格-楞次矢量（簡寫為 LRL 矢量）主要是用來描述，當一個物體環繞着另外一個物體運動時，軌道的形狀與取向。典型的例子是行星的環繞着太陽公轉。在一個物理系統裏，假若兩個物體以萬有引力相互作用，則 LRL 矢量必定是一個運動常數，不管在軌道的任何位置，計算出來的 LRL 矢量都一樣；也就是説， LRL 矢量是一個保守量。更廣義地，在開普勒問題裏，由於兩個物體以有心力相互作用，而有心力遵守反平方定律，所以，LRL 矢量是一個保守量。 　氫原子是由兩個帶電粒子構成的。這兩個帶電粒子以遵守庫侖定律的靜電力互相作用．靜電力是一個標準的反平方有心力。所以，氫原子內部的微觀運動是一個開普勒問題。在量子力學的發展初期，薛定諤還在思索他的薛定諤方程的時候，沃爾夫岡·泡利使用 LRL 矢量，關鍵性地導引出氫原子的發射光譜。這結果給予物理學家很大的信心，量子力學理論是正確的。

在經典力學與量子力學裏，因為物理系統的某一種對稱性，會產生一個或多個對應的保守值。 LRL 矢量也不例外。可是，它相對應的對稱性很特別；在數學裏，開普勒問題等價於 一個粒子自由地移動於 四維空間的三維球；所以，整個問題涉及四維空間的某種旋轉對稱。 ^[3] 

拉普拉斯-龍格-楞次矢量是因皮埃爾-西蒙·拉普拉斯，卡爾·龍格，與威爾漢·楞次而命名。它又稱為拉普拉斯矢量，龍格-楞次矢量，或楞次矢量。有趣的是，LRL 矢量並不是這三位先生髮現的！這矢量曾經被重複地發現過好幾。它等價於天體力學中無量綱的離心率矢量。發展至今，在物理學裏，有許多各種各樣的 LRL 矢量的推廣定義；牽涉到狹義相對論，或電磁場，甚至於不同類型的有心力。