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卡爾·龍格
鎖定
卡爾·龍格是一位德國數學家, 物理學家,與 光譜學家。在數值分析學裏,他是龍格-庫塔法的共同發明者與共同命名者。
- 中文名
- 卡爾·龍格
- 國 籍
- 德國
- 出生日期
- 1856年8月30日
- 逝世日期
- 1927年1月3日
卡爾·龍格基本信息
出生 | 1856年8月30日(1856-08-30) 德國不來梅 |
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逝世 | 1927年1月3日 (70歲) 德國哥廷根 |
居住地 | 德國 |
公民權 | 德國人 |
國籍 | 德國 |
研究領域 | 數學,物理學 |
任職於 | 漢諾威萊布尼茲大學(1886 年-1904 年) 哥廷根大學(1904 年-1925 年) |
母校 | 柏林大學 |
博士導師 | 卡爾·魏爾施特拉斯,Ernst Kummer |
博士學生 | 馬克斯·玻恩 |
著名成就 | 龍格-庫塔法,龍格現象,拉普拉斯-龍格-楞次矢量 |
卡爾·龍格人物生平
1880 年,他得到柏林大學的數學博士,是著名德國數學家,被譽為“現代分析之父”的卡爾·魏爾施特拉斯的學生。1886 年,他成為在德國漢諾威的漢諾威萊布尼茲大學的教授。
月球的龍格隕石坑(Runge crater) 是因他而命名的
[1]
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卡爾·龍格龍格-庫塔法
卡爾·龍格四階龍格庫塔法
對於一階精度的歐拉公式有:
yi+1=yi+h*K1 K1=f(xi,yi)
yi+1=yi+h*( K1+ K2)/2
K1=f(xi,yi)
K2=f(xi+h,yi+h*K1)
依次類推,如果在區間[xi,xi+1]內多預估幾個點上的斜率值K1、K2、……Km,並用他們的加權平均數作為平均斜率K*的近似值,顯然能構造出具有很高精度的高階計算公式。經數學推導、求解,可以得出四階龍格-庫塔公式,也就是在工程中應用廣泛的經典龍格-庫塔算法:
yi+1=yi+h*( K1+ 2*K2 +2*K3+ K4)/6
K1=f(xi,yi)
K2=f(xi+h/2,yi+h*K1/2)
K3=f(xi+h/2,yi+h*K2/2)
K4=f(xi+h,yi+h*K3)
通常所説的龍格-庫塔法是指四階而言的,我們可以仿二階、三階的情形推導出常用的標準四階龍格-庫塔法公式。龍格-庫塔法具有精度高,收斂,穩定(在一定條件下),計算過程中可以改變步長,不需要計算高階導數等優點,但仍需計算 在一些點上的值,如四階龍格-庫塔法每計算一步需要計算四次 的值,這給實際計算帶來一定的複雜性,因此,多用來計算“表頭”
[2]
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卡爾·龍格龍格現象
在計算方法中,有利用多項式對某一函數的近似逼近,這樣,利用多項式就可以計算相應的函數值。例如,在事先不知道某一函數的具體形式的情況下,只能測量得知某一些分散的函數值。例如我們不知道氣温隨日期變化的具體函數關係,但是我們可以測量一些孤立的日期的氣温值,並假定此氣温隨日期變化的函數滿足某一多項式。這樣,利用已經測的數據,應用待定係數法便可以求得一個多項式函數f(x)。應用此函數就可以計算或者説預測其他日期的氣温值。一般情況下,多項式的次數越多,需要的數據就越多,而預測也就越準確。例外發生了:龍格在研究多項式插值的時候,發現有的情況下,並非取節點(日期數)越多多項式就越精確。著名的例子是f(x)=1/(1+25x^2).它的插值函數在兩個端點處發生劇烈的波動,造成較大的誤差。究其原因,是舍入誤差造成的。
具體的情況可參考下列Mathematica程序:
n = 10; x = Range[-1, 1, 2/n]; y = 1./(1 + 25 x^2);
p =Transpose[{x, y}]; Clear[t];
f = LagrangeInterpolation[x, y, t];
Show[ Plot[{1./(1 + 25 t^2), f}, {t, -1, 1}], ListPlot[p, PlotStyle ->PointSize[0.02]] ]
卡爾·龍格LRL矢量
在經典力學裏,拉普拉斯-龍格-楞次矢量(簡寫為 LRL 矢量)主要是用來描述,當一個物體環繞着另外一個物體運動時,軌道的形狀與取向。典型的例子是行星的環繞着太陽公轉。在一個物理系統裏,假若兩個物體以萬有引力相互作用,則 LRL 矢量必定是一個運動常數,不管在軌道的任何位置,計算出來的 LRL 矢量都一樣;也就是説, LRL 矢量是一個保守量。更廣義地,在開普勒問題裏,由於兩個物體以有心力相互作用,而有心力遵守反平方定律,所以,LRL 矢量是一個保守量。 氫原子是由兩個帶電粒子構成的。這兩個帶電粒子以遵守庫侖定律的靜電力互相作用.靜電力是一個標準的反平方有心力。所以,氫原子內部的微觀運動是一個開普勒問題。在量子力學的發展初期,薛定諤還在思索他的薛定諤方程的時候,沃爾夫岡·泡利使用 LRL 矢量,關鍵性地導引出氫原子的發射光譜。這結果給予物理學家很大的信心,量子力學理論是正確的。
在經典力學與量子力學裏,因為物理系統的某一種對稱性,會產生一個或多個對應的保守值。 LRL 矢量也不例外。可是,它相對應的對稱性很特別;在數學裏,開普勒問題等價於 一個粒子自由地移動於 四維空間的三維球;所以,整個問題涉及四維空間的某種旋轉對稱。
[3]
拉普拉斯-龍格-楞次矢量是因皮埃爾-西蒙·拉普拉斯,卡爾·龍格,與威爾漢·楞次而命名。它又稱為拉普拉斯矢量,龍格-楞次矢量,或楞次矢量。有趣的是,LRL 矢量並不是這三位先生髮現的!這矢量曾經被重複地發現過好幾。它等價於天體力學中無量綱的離心率矢量。發展至今,在物理學裏,有許多各種各樣的 LRL 矢量的推廣定義;牽涉到狹義相對論,或電磁場,甚至於不同類型的有心力。
- 參考資料
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- 1. F. Paschen: "卡爾·龍格", Astrophysical Journal 69:317–321, 1929. DOI:10.1086/143192。
- 2. Ueber die Krümmung, Torsion und geodätische Krümmung der auf einer Fläche gezogenen Curven (博士論文, Friese, 1880)
- 3. 圖解方法;在哥倫比亞大學一個課程的講課, 10 月,1909年,至 1 月, 1910年 (Columbia University Press, New York, 1912)