力矩分配法

以位移法為基礎的一種數值漸近方法，是美國H．克羅斯於1932年發表的，主要用於杆系剛結結構(如連續梁和剛架)的受力分析。

設想將結構承載後能產生位移的節點(杆件的連接點)用相應的假想約束固定，在假想約束處就產生不平衡力矩(或力)，然後逐個放鬆附加約束，消除不平衡力矩(或力)，恢復真實變形狀態。若首先放鬆節點i的附加約束，則i點的不平衡力矩M_i就會使剛結於i點的所有杆件變形，不平衡力矩M_i隨即消失，這就是把M_i分配給節點i備杆件的近端，而各杆件遠端由於受到i端分配力矩的影響也得到一定的力矩，前者稱為分配力矩，後者稱為傳遞力矩。然後再將節點i固定住。在消除同節點i相鄰的節點j的不平衡力矩時，節點i得到了節點j端傳來的力矩，以此作為i節點新的不平衡力矩，再次放鬆約束，將不平衡力矩分配給節點i各杆的近端。如此循環進行，直到各點不平衡力矩都趨於零為止。循環中，節點i處第k個杆的分配力矩為M_ik=-μ_ikM_i，其中分配係數，K_ik為第k個杆的彎曲剛度，表示連接於節點i處所有杆的彎曲剛度的總和。第k個杆在i端分配到的力矩對遠端(即節點k)的影響就是傳遞力矩，它等於C_ikM_ik，其中Cu稱為傳遞係數，其值為：

循環計算完畢後，將各杆端各次的分配力矩、傳遞力矩和最初的不平衡力矩(稱為固端力矩)相加，即得各杆端的實際力矩值。此法適用於計算連續粱和無側移剛架 ^[2]  。

具有四根等截面杆的剛架（圖a,圖中i代表各杆的線性剛度,i=EI/l,E為材料的彈性模量,I為杆件的截面慣性矩，l為杆長），若在點O作用一外力矩MO,使結點O發生單位轉角嗘0=1,則結構的變形如圖a虛線所示，相應的彎矩圖如圖b（轉角及彎矩均以順時針方向為正。習慣上把每一杆件的轉動端稱為近端,另一端稱為遠端）。由圖可看出，作用於點O的力矩MO將由各杆近端共同承擔,並傳遞到遠端。各杆的遠端彎矩與近端彎矩之比稱為該杆的傳遞係數C，對於等截面杆,它僅與遠端的支承情況有關。各杆的傳遞係數分別為C_O1=1/2,C_O2=0，C_O3=-1，C_O4=0。

根據靜力平衡原理,MO應等於各近端彎矩之和，即M_O=4i₁+3i₂+i₃，如圖c。杆端發生單位轉角時的近端彎矩稱為該杆的轉動剛度Ki，各杆轉動剛度之和 ∑Ki稱為結點O 的轉動剛度。圖中任一杆的近端彎矩可表

因子 Ki/∑Ki稱為分配係數Di。它表明當點O受到MO作用時，i杆所分配到的力矩與該杆轉動剛度Ki對結點O轉動剛∑Ki的比值有關。由此可知，點O 受任一確定的外力矩M作用時，任一杆的近端彎矩為M_iO=D_iM；遠端彎矩為M_iO=C_iM_Oi=C_iD_iM。

①固定結點,在結點O上加一剛臂控制轉動，分別求出各杆端由荷載產生的固端彎矩，作用於一結點上的各杆固端彎矩的代數和稱為不平衡力矩；

②放鬆結點，取消本不存在的剛臂，讓結點轉動，將不平衡力矩按各杆的分配係數求得各杆的分配力矩；

③傳遞力矩，按分配力矩和各杆的傳遞係數向各杆遠端傳遞，得各傳遞力矩。循此規則，分配、傳遞、反覆計算，直至得到足夠精度的杆端力矩數值為止。

最後，杆端力矩等於固端力矩、分配力矩、傳遞力矩之和。

對於有側移剛架，也可以應用由力矩分配法發展出來的方法計算，如無剪力分配法計算單跨剛架、附加剪力平衡方程的力矩分配法等，但其應用範圍受到限制或不很方便，所以對於一般有側移剛架，常採用迭代法。

為了應用力矩分佈法分析結構，必須考慮以下幾點。 ^[3] 

固定的最終力矩是當接頭固定時通過外部載荷在構件端產生的力矩。

構件的彎曲剛度（EI / L）表示為彈性模量（E）和第二力矩（I）除以構件長度（L）的乘積。時間分配方法所需要的不是精確值，而是所有成員的彎曲剛度比。

當關節釋放並在不平衡時刻開始旋轉時，在每個構件在接頭處構成一體的阻力發展。儘管總阻力等於不平衡力矩，但是在每個構件上產生的阻力的大小不同於構件的彎曲剛度。分佈因子可以定義為每個成員攜帶的不平衡矩的比例。在數學術語中，在聯合j處構造的成員k的分佈因子給出為：

其中n是在聯合框架的數量。

當釋放接頭時，發生平衡力矩以平衡不平衡力矩，其最初與固定時刻相同。 然後將這個平衡時刻轉移到會員的另一端。 另一端的轉移力矩與初始結束的固定力矩的比值是殘留因子。

一旦選擇了標誌公約，就必須為整個結構維護。 傳統工程師的符號約定不用於計算力矩分佈法，儘管結果可以用常規方式表示。 在BMD情況下，左側力矩為順時針方向，其他方向為逆時針方向，因此彎曲為正，稱為下垂。

可以使用矩分佈法分析具有或不具有側面的框架結構。