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冪平均
鎖定
冪平均定義
冪平均性質
(2)與幾何算術平均一樣,這種平均的計算可以分解成同樣大小的子塊來計算。
(3)一般地,如果 p<q,則
且這兩個平均相等當且僅當
。這由事實
得出,上述不等式可由琴生不等式證明。
冪平均特例
冪平均不等式的證明
冪平均不等式之等價
假設指數p與q的冪平均間有不等式:
則
我們在兩邊取倒數(正實數上的嚴格遞減函數,不等號反向):
我們得到了關於 -p與 -q的冪平均不等式,同樣的推理可以倒推,從而證明了兩個不等式等價,這在後面的證明中將用到。
冪平均幾何平均
對任何q,指數為q的冪平均與幾何平均之間的不等式為:
(第一個不等式對正數q,第二個對負數)
我們在兩邊取q次冪:
兩邊取指數函數(嚴格遞增),我們得到了不等式:
從而對任何正數q,下式成立:
因為此不等式對任何q成立,足夠小同樣成立,可以將證明(利用洛必達法則),當q趨於 0 時,左右兩邊趨於幾何平均,q趨於 0 時的冪平均是幾何平均:
冪平均冪平均不等式
如果p是負數且q是正數,不等式等價於上面已證過的
對正數p與q的證明如下:定義函數
f是一個冪函數,所以有二階導數:
,在f的定義域內嚴格正,因為q>p,從而我們知道f是凸的。
利用這一點以及琴生不等式,我們得到:
兩邊取 1/q次冪(遞增函數,因 1/q 為正數)我們得到了欲證之不等式:
最後使用先前證過的等價性,我們得到了關於負數p與q的不等式,證畢。
冪平均推廣
冪平均可以推廣到更一般的廣義f-平均:
例如這包括了幾何平均而勿需使用極限。冪平均是由
得到的。
冪平均應用
信號處理