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算術幾何平均

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算術-幾何平均是一種特殊平均，即算術平均與幾何平均的合成平均，設a0=a>b=b0>0，an=1/2(an-1+bn-1)，bn=√(an-1·bn-1)，則an和bn有共同的極限，這個極限稱為a，b的算術-幾何平均，一般記為AMG(a，b)，這是由高斯(C.F.Gauss)命名的 [1]  。
中文名
算術幾何平均
外文名
arithmetic-geometric mean
所屬學科
數學
簡    介
算術平均與幾何平均的合成平均
命名者
高斯(C.F.Gauss)

目錄

  1. 1 基本介紹
  2. 2 相關結論

算術幾何平均基本介紹

算術幾何平均不等式n個正數
的算術平均
不小於它們的幾何平均
即
式中當且僅當
時取等號 [2]  。
算術幾何平均設a和b是兩個正數，定義數列
和
如下
這裏
。由算術幾何平均不等式，明顯地，
．根據數學歸納法容易證明數列
是遞減的，而
是遞增的，等價於
清楚地，
進而得到
因此，這兩個數列有共同的極限，即
我們稱該極限為a和b的算術-幾何平均AGM(a，b)，也有一些文獻用A
G(a，b)表示這個平均.。Lagrange和Gauss首先研究了這個平均，但是這個平均真正的重要性以及與橢圓積分的聯繫屬於Gauss，有時也稱這個平均為Gauss算術-幾何平均 [3]  。

算術幾何平均相關結論

設
定理 (Gauss)
證明 作變量代換
，則
因此，
也就是説，我們獲得
。根據歸納法，並注意到
是(a，b)的連續函數，我們得到
，這裏m=AGM(a，b)，清楚地，
因此(2)式成立。(2)中的兩個積分稱為橢圓積分。給出AGM的運算規則(1)稱為Gauss運算規則 [3]  。
參考資料
  • 1.    數學辭海編輯委員會．數學辭海·第一卷：中國科學技術出版社，2002.08
  • 2.    季素月，朱家生，陳然．初等代數研究：上海科技教育出版社，1994.12：第219頁
  • 3.    陳超平．平均值與г函數不等式：大象出版社，2009.09：第18頁