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共軛類
鎖定
共軛類定義
設有兩元素a，b∈G，若有一元素g∈G，使得
a=gbg-1
則稱a是b的共軛元素，或簡稱共軛。
共軛關係是一個等價關係，因為
（i）任一元素是其自身的共軛，只要取g=e即可；
（ii）若a是b的共軛，則b也是a的共軛
即a=gbg-1⇒b=（g-1）a（g-1）-1
（ii）若a是b的共軛，b是c的共軛，則a是c的共軛，即
a=gbg-1，b=hch-1⇒a=（gh）c（gh）-1
共軛類例子
- 恆等 （abc -> abc）表示為（1）
- 對換 （abc -> acb，abc -> bac，abc -> cba）表示為（23） （12） （13）
- 三階輪換 （abc -> bca，abc -> cab）表示為（132） （123）
對稱羣S4，由4個元素的全部24個置換組成，有5個共軛類：
- 恆等
- 對換
- 三階輪換
- 四階輪換
- 雙對換
參看立方體的恰當轉動，它可以用體對角線的枚舉刻劃。
在
矩陣，在同一個共軛類的矩陣稱為相似矩陣。
共軛類屬性
- 單位元總是自成一類，也就是説Cl（e） = {e}
- 若G可交換，則gag=a對於所有a和g屬於G成立；所以Cl（a） = {a}對於a屬於G成立；可見這個概念對於交換羣不是很有用。
- 若G的兩個元素a和b屬於同一個共軛類（也即，若它們共軛），則它們有同樣的階。更一般地講，每個關於a的命題可以轉換成關於b=gag的一個命題，因為映射φ（x） =gxg是一個G的自同構。
共軛類共軛類方程
共軛類定義
若G為有限羣，則上節的內容，加上拉格朗日定理，可以得出如下結論：每個共軛類的元素個數整除G的階。
進一步的有，對於任何羣G，可以通過從G的每個元素個數大於1的共軛類中取出一個元素來定義一個代表集S= {xi}。則G是Z（G）和S的元素的共軛類Cl（xi）的不交併集。由此可以寫出重要的類方程：
- |G| = |Z（G）| + ∑i[G:Hi]
其中求和取遍對於每個S中的xi的Hi= CG（xi）。注意[G:Hi]是共軛類i的元素個數，一個|G|的大於1的除數。如果|G|的除數已知，則該方程經常用於獲得關於共軛類或者中心的大小的信息。
共軛類例子
因為G的任意子羣的次數必須整除G的次數，所以每個Hi也是某個冪p。但是類方程要求|G| =p= |Z（G）| + ∑i（p）。因此我們可以看出p必須整除|Z（G）|，所以|Z（G）| > 1。
共軛類子羣的共軛
更一般的來講，給定任意G的子集S（S不必是子羣），我們定義一個G的子集T為S的共軛，當且僅當存在某個g屬於G滿足T=gSg。我們可以定義Cl（S）為所有共軛於S的子集T的集合。
一個常用的定理是，給定任意子集S，N（S）（S的正規化子）的指數等於Cl（S）的次數：
- |Cl（S）| = [G: N（S）]
這是因為，如果g和h屬於G，則gSg=hSh當且僅當gh屬於N（S），換句話説，當且僅當g和h屬於N（S）的同一個陪集。
注意這個公式推廣了前面關於共軛類元素的個數的定理（S= {a}的特殊情況）。
上述定理在討論G的子羣時尤其有用。子羣可以由此分為等價類，兩個子羣屬於同一類當且僅當它們共軛。共軛子羣是同構的，但是同構子羣未必共軛（例如，交換羣可以有兩個不同的互相同構的子羣，但是它們不可能共軛）。
共軛類作為羣作用
如果對於任意兩個G中的元素g和x定義
- g.x=gxg
則我們有了一個G在G上的羣作用。該作用的軌道就是共軛類，而給定元素的定點子羣就是該元素的中心化子。
同樣，我們可以定義一個在G的所有子羣或者所有子集的集合上的G的羣作用如下
- g.S=gSg。
