平行向量

向量：既有大小又有方向的量叫向量。

零向量：長度為0的向量，記作

。

單位向量：長度為1個單位長度的向量。

平行向量：也叫共線向量，方向相同或相反的非零向量。

相等向量：長度相等且方向相同的向量。

相反向量：長度相等且方向相反的向量 ^[1]  。

對於零向量和任意向量

，有：

。向量的加法滿足所有的加法運算定律。

三角形法則：已知從點A出發的向量

與從點B出發的向量

相加，則以A為起點的向量

即為它們之和。

平行四邊形法則：已知兩個從同一點O出發的兩個向量

、

，以OA、OB為鄰邊作平行四邊形OACB，則以O為起點的對角線向量

就是向量

、

的和，這種計算法則叫做向量加法的平行四邊形法則。

與

長度相等，方向相反的向量，叫做

的相反向量，

，零向量的相反向量仍然是零向量。

（1）

；（2）

。

以減向量的終點為起點，被減向量的終點為終點(三角形法則) ^[2]  。

實數λ與向量

的積是一個向量，這種運算叫做向量的數乘，記作

，

。當λ > 0時，

的方向和

的方向相同，當λ < 0時，

的方向和

的方向相反，當λ = 0時，

= 0，方向任意。

設λ、μ是實數，那麼：（1）

；（2）

；

（3）

；（4）

。

兩個非零向量的數量積：

。數量積滿足交換律、分配律，不滿足結合律 ^[2]  。

向量平行(共線)充要條件的兩種形式 ^[1]  ：

（1）

；

（2）

。

由於任何一組平行向量都可移到同一直線上，故平行向量也叫做共線向量。

相等的向量一定平行，但是平行的向量並不一定相等。兩個向量相等並不一定這兩個向量一定要重合。只用這兩個向量長度相等且方向相同即可。其中“方向相同”就包含着向量平行的含義 ^[3]  。

例1.下列命題正確的是（ ）

A.

與

共線，

與

共線，則

與

也共線

B.任意兩個相等的非零向量的始點與終點是一平行四邊形的四頂點

C.向量

與

不共線，則

與

都是非零向量

D.有相同起點的兩個非零向量不平行

解析：由於零向量與任一向量都共線，所以A不正確；由於數學中研究的向量是自由向量，所以兩個相等的非零向量可以在同一直線上，而此時就構不成四邊形，根本不可能是一個平行四邊形的四個頂點，所以B不正確；向量的平行只要方向相同或相反即可，與起點是否相同無關，所以D不正確；對於C，其條件以否定形式給出，所以可從其逆否命題來入手考慮，假若

與

不都是非零向量，即

與

至少有一個是零向量，而由零向量與任一向量都共線，可有

與

共線，不符合已知條件，所以有

與

都是非零向量，所以應選C ^[3]  。