傳染病模型

一般把傳染病流行範圍內的人羣分成如下幾類：

1、S 類，易感者 (Susceptible)，指未得病者，但缺乏免疫能力，與感染者接觸後容易受到感染；

2、E 類，暴露者 (Exposed)，指接觸過感染者，但暫無能力傳染給其他人的人，對潛伏期長的傳染病適用；

3、I 類，感病者 (Infectious)，指染上傳染病的人，可以傳播給 S 類成員，將其變為 E 類或 I 類成員；

4、R 類，康復者 (Recovered)，指被隔離或因病癒而具有免疫力的人。如免疫期有限，R 類成員可以重新變為 S 類。

將人羣分為 S 類和 I 類，建立如下微分方程：

這裏 β 為傳染率。在疾病傳播期內，所考察地區的總人數 S(t) + I(t) = K 保持不變。利用這一守恆關係得

這是一個邏輯斯諦模型。其指數增長率 r = βK 正比於總人數 K 和傳染率 β。這個模型有兩個主要結論：

（1）指數增長率 r 正比於總人數。當傳染率 β 一定時，一定染病地區內的總人數 K 越多，傳染病爆發的速度越快，説明了隔離的重要性；

（2）在 I = K/2 時，病人數目 I 增加得最快，是醫院的門診量最大的時候，醫療衞生部門要重點關注。

SI 模型只考慮了傳染病爆發和傳播的過程。SIR模型進一步考慮了病人的康復過程。模型的微分方程為

總人數 S(t) + I(t) + R(t) = 常數N。這裏假設病人康復後就獲得了永久免疫，因而可以移出系統。對於致死性的傳染病，死亡的病人也可以歸入 R 類。因此 SIR 模型只有兩個獨立的動力學變量 I 和 S，它們的相軌跡滿足

給定 t = 0 時刻的初條件 S = S₀，隨着 S 從 S₀ 開始單調遞減，染病人數 I 在 S = γ / β 時達到峯值，隨後一直回落，直到減為零。此時剩餘一部分易感人羣 S_∞，而疾病波及到的總人數為 R_∞，二者可由總人數守恆和相軌跡方程解出。

如果所研究的傳染病為非致死性的，但康復後獲得的免疫不能終身保持，則康復者 R 可能再次變為易感者 S。此時有

總人數 S(t) + I(t) + R(t) = N 為常數。參數 α 決定康復者獲得免疫的平均保持時間。系統有兩個不動點 S = N（I = R = 0）或 S = γ / β（I / R = α / γ）。前者表示疾病從研究地區消除，而後者則是流行狀態。消除流行病的參數條件是 γ ＞ βN。若做不到，則要儘量減小 α 而增加 γ，使更多人保持對該疾病的免疫力。

如果所研究的傳染病有一定的潛伏期，與病人接觸過的健康人並不馬上患病，而是成為病原體的攜帶者，歸入 E 類。此時有

仍有守恆關係 S(t) + E(t) + I(t) + R(t) = 常數，病死者可歸入 R 類。潛伏期康復率 γ₁ 和患者康復率 γ₂ 一般不同。潛伏期發展為患者的速率為 α。與 SIR 模型相比，SEIR 模型進一步考慮了與患者接觸過的人中僅一部分具有傳染性的因素，使疾病的傳播週期更長。疾病最終的未影響人數 S_∞ 和影響人數 R_∞ 可通過數值模擬得到。

根據傳染病的模型建立研究進而推廣產生了傳染病動力學模型。傳染病動力學^[1]是對進行理論性定量研究的一種重要方法，是根據種羣生長的特性、疾病的發生及在種羣內的傳播、發展規律，以及與之有關的社會等因素，建立能反映傳染病動力學特性的數學模型。通過對模型動力學性態的定性、定量分析和數值模擬，來分析疾病的發展過程、揭示流行規律、預測變化趨勢、分析疾病流行的原因和關鍵。對於 2003 年發生的 SARS 疫情，國內外學者建立了大量的動力學模型研究其傳播規律和趨勢，研究各種隔離預防措施的強度對控制流行的作用，為決策部門提供參考。有關 SARS 傳播動力學研究多數採用的是 SIR 或 SEIR 模型。評價措施效果或擬合實際流行數據時，往往通過改變接觸率和感染效率兩個參數的值來實現。石耀霖^[2]建立了 SARS 傳播的系統動力學模型，以越南的數據為參考，進行了 Monte Carlo 實驗。初步結果表明：感染率及其隨時間的變化是影響 SARS 傳播的最重要因素。蔡全才^[3]建立了可定量評價 SARS 干預措施效果的傳播動力學模型，並對北京的數據進行了較好的擬合。

參考文獻：

[1]姜啓源編輔導課程（九）主講教師:鄧磊

[2]西北工業大學（數學建模）精品課程

[3]耀霖.SARS傳染擴散的動力學隨機模型[J].科學通報,2003,48(13)1373-1377