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仿射微分幾何學

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仿射微分幾何學(affine ldifferential geometry)是一門古典的微分幾何,屬於微分幾何學的一個分支,從屬於仿射變換羣。內容包括曲線和曲面在仿射變換羣下的不變量、協變圖形及其性質等,它興起於20世紀20年代初,由德國數學家布拉施克等人創建。
中文名
仿射微分幾何學
外文名
affine ldifferential geometry
所屬學科
數學
所屬領域
微分幾何學的一個分支
興起時間
20世紀20年代初
相關人物
布拉施克、薩爾科夫斯基等
定    義
曲線和曲面在仿射變換羣下的不變量、協變圖形及其性質

仿射微分幾何學基本內容

仿射微分幾何學是微分幾何學的一個分支,從屬於仿射變換羣。內容包括曲線和曲面在仿射變換羣下的不變量、協變圖形及其性質。興起於20世紀20年代初,由德國數學家布拉施克等人創建。布拉施克的《微分幾何講義》(1921-1945) 第2卷專論仿射微分幾何,得到仿射長度、仿射曲率、仿射撓率、仿射主法線、仿射副法線等與歐幾里得幾何同樣的結果,還論述了仿射極小曲面,曲線、曲面的大範圍性質等問題,其方法同射影微分幾何學富比尼方法相類似,分別使用了自然方程和基本微分形式,從而導出空間曲線和曲面論的基本定理。其基本思想源於C.F.克萊因的“埃朗根綱領”(1872年),即將幾何學歸結為可逆變換羣的幾何不變量理論加以分類,而討論方法則依賴於高斯對曲面論所採取的基本形式 [1] 

仿射微分幾何學發展歷程

20世紀20年代末期,仿射微分幾何學的研究主要集中在仿射曲面論的幾何結構、仿射鑄曲面與仿射旋轉曲面論的引進、仿射曲面論和射影曲面論間的若干關係等方面,使這門學科趨於完善。較早的專著有薩爾科夫斯基(E.Salkowski) 的《仿射微分幾何》(1934)。到20世紀60 年代原蘇聯數學家希羅科夫出版專著《仿射微分幾何學》(1962),彙總了這幾十年的研究成果,並附有詳細的文獻表。中國數學家蘇步青從20世紀20年代後期從事仿射微分幾何學研究,發現了仿射鑄面、仿射旋轉面和某些特殊族的曲面,並發展了仿射曲面論,20世紀70年代又在計算幾何中創造了仿射不變量理論,並應用於造船工業中的船體數學放樣,收到顯著效果。1982年他出版專著《仿射微分幾何》,較完整地論述了這一學科的全貌,其中包括關於仿射曲面論的幾何結構、仿射旋轉面論及其在高維仿射空間的拓廣和規範直線成為仿射法線的曲面族等方面的研究 [1] 

仿射微分幾何學仿射變換羣

仿射變換羣(affine transformation group)簡稱仿射羣,是一類基本的變換羣,即由仿射空間中全體仿射變換所構成的變換羣。例如,平面上的全體仿射變換構成平面上的仿射變換羣,它是平面射影變換中以無窮遠直線為絕對形的自同構羣。空間中全體仿射變換構成空間的仿射變換羣,它是空間射影變換中以無窮遠平面為絕對形的自同構羣。研究在仿射羣下不變性質與不變量的幾何稱為仿射幾何

仿射微分幾何學微分幾何學

微分幾何學(differential geometry)簡稱微分幾何,是數學的一個重要分支,主要研究可微分的形體(曲線、曲面、微分流形等)的幾何性質。微分幾何幾乎與微積分同時產生和發展.當初,牛頓(I.Newton)和萊布尼茨(G.W.Leibniz)創立微積分的動機之一,就是為了解決計算一般曲線的切線和長度、曲線所圍區域的面積等幾何問題.微分幾何的第一本著作當推蒙日(G.Monge)的《分析對幾何的應用》,他和歐拉(L.Euler)及他們的學生們對微分幾何的早期發展做出了重要貢獻.曲面論的真正基礎是由高斯(C.F.Gauss)奠定的,他於1827年出版了專著《關於彎曲曲面的一般研究》,書中證明:曲面的總曲率由它的第一基本形式完全確定。這就是曲面論的高斯方程,被稱為極妙定理.從此以後,微分幾何不再僅僅是微積分的一種應用,而成為數學的一個獨立分支。
高斯建立的僅與曲面第一基本形式有關的內藴幾何是微分幾何發展史上的一次關鍵性的突破,這一思想後來被黎曼((G.F.)B.Riemann)發揚光大.黎曼於1854年在格丁根大學發表了題為“關於作為幾何學基礎的假設”的就職演説,奠定了黎曼幾何的基礎.他發展了空間的概念,把後來稱之為黎曼度量的對稱正定二次微分形式賦予n維流形,並以此作為幾何學的出發點.這就包括了一大類非歐幾何(如橢圓幾何、雙曲幾何(又稱羅巴切夫斯基幾何))。正是黎曼幾何被愛因斯坦(A.Einstein)用來建立廣義相對論,並且相對論反過來促進了黎曼幾何學的發展。
克萊因(Klein,(C.)F.)於1870年在他的《埃爾朗根綱領》(Erlanger program)中提出,幾何學應是研究空間在變換羣作用下不變的性質.根據不同的變換羣,就有歐氏幾何、射影幾何、仿射幾何、共形幾何等。這種用羣論觀點統一幾何學的思想,在《埃爾朗根綱領》發表後的半個世紀內,成了幾何學的指導思想.20世紀初期,射影微分幾何的研究相當活躍,產生了以威爾辛斯基(E.J.Wilczynski)為代表的美國學派,以富比尼(G.Fubini)為代表的意大利學派和以蘇步青教授為代表的中國學派。仿射微分幾何和共形微分幾何的決定性工作是由布拉施克(W.J.E.Blaschke)所做的.融黎曼和克萊因之思想於一體的是嘉當(E.Cartan),他把李羣和微分幾何結合起來,視聯絡為廣義空間(纖維叢的前身)的主要幾何對象,成功地發展了外微分理論和活動標架法.尤其是李羣在流形上的作用,導致了齊性空間和對稱空間的深入研究.這些都為現代微分幾何奠定了基礎。黎曼幾何還有另外的推廣,即把作為空間度量的正定二次型用更一般的正二次齊次函數來代替,其實這也是黎曼的本意。這種度量空間被芬斯勒(P.Finsler)、楞特(H.Rund)等發展成芬斯勒幾何。
20世紀40年代以後,微分幾何的一個發展趨勢是研究空間或流形的整體性質,尤其是局部性質與整體性質的聯繫.著名的高斯-博內公式即是一例,陳省身在高維黎曼流形上的推廣方面做出了重要貢獻.霍奇(W.V.D.Hodge)的調和積分理論和德·拉姆(G.-W. de Rham)的上同調理論揭示了微分流形上微分結構、拓撲結構和黎曼結構之間的深刻聯繫,具有十分重要的意義.在一定幾何條件下,根據調和理論,可用博赫納(S.Bochner)方法得出各種消沒定理.這就是所謂博赫納技巧.黎曼流形上的測地線理論是整體黎曼幾何學的核心之一。從測地線的無限延伸要求引出黎曼流形的完備性概念,霍普夫(H.Hopf)和裏諾(W.Rinow)對此作出了貢獻.完備性是整體微分幾何研究中對流形所加的最起碼和最自然的假設,它比緊緻性更弱.測地線的變分理論導致了黎曼流形上各種曲率與拓撲的深刻結果.進一步的發展包括著名的球面定理,非負曲率的完備流形和非正曲率的緊緻流形的結構等。測地線理論也促進了流形上分析的發展。
微分幾何的另一重要研究方向是等距浸入和子流形幾何。1926年,雅內特(N.Janet)和嘉當分別獨立證明了任何n維解析黎曼流形均可局部等距嵌入到n(n+1)/2維歐氏空間中,但是,若去掉流形的解析性要求,問題至今尚未完滿解決.尤其是高斯曲率變號的二維黎曼流形是否總可以局部等距嵌入三維歐氏空間中,仍是一個令人感興趣的問題。關於整體等距嵌入問題,納什(J.F.Nash)於1954-1956年給出了一般性結果:任何完備(緊緻)黎曼流形均可整體等距嵌入到充分高維數的歐氏空間中作為子流形.納什的方法後來對非線性分析產生重要影響.雖然有納什的結果,但對於一個具體的黎曼流形,要確定它能等距嵌入進去的歐氏空間的最低維數,仍是一個相當困難的問題。黎曼流形的子流形幾何是古典曲面論的直接推廣,子流形的第二基本形式起着十分重要的作用.第二基本形式的跡稱為子流形的平均曲率(向量).如同曲面論一樣,平均曲率為零的子流形稱為極小子流形.極小子流形具有明顯的幾何變分特徵,它是體積泛函的臨界點.極小子流形,特別是極小曲面,它們的整體存在性、惟一性和分類問題是子流形研究中最重要和最有吸引力的一個課題。
幾何變分問題在現代微分幾何中越來越佔有重要的地位,這不僅在於它具有深刻的幾何背景,而且還在於它和眾多的其他數學分支相關聯,如變分學、偏微分方程、近世代數、非線性分析、多複變函數論等。此外它還和理論物理、生物工程等相溝通。調和映射便是近年來發展十分迅速的一類幾何變分問題.黎曼流形間的調和映射是其能量泛函的臨界點.當起始流形為1維時便化為測地線.調和的等距浸入便是極小子流形.調和映射的第一個整體存在性定理是由伊爾斯(J.Eells)和桑普森(J.H.Sampson)於1964年共同給出的。從調和理論觀點來看,調和映射是調和的1形式.其他重要的幾何變分問題還有楊-米爾斯場、愛因斯坦度量、克勒-愛因斯坦度量等.它們不僅對現代微分幾何學,而且對現代數學的發展都起了很大的促進作用。
微分幾何是一門既古老又年輕的學科,它的新概念和新方法層出不窮.今天,無論在基礎理論上還是在實際應用上,都日益顯示出它的強大生命力.著名幾何學大師陳省身教授説:“我希望它不要像其他一些數學分支那樣被公理化.保持它跟數學中別的分支以及其他學科的許多領域的聯繫,保持着它把局部和整體相結合的精神。它在今後長時期中仍將是一片肥沃的疆域。”

仿射微分幾何學仿射幾何學

仿射幾何學(affine geometry)是研究圖形在仿射變換下不變性質的幾何學。所謂仿射變換是仿射平面(或空間)到自身的一類變換,它最重要的特性是保持點的共線性(或共面性)以及保持直線的平行性。其中仿射空間是這樣定義的:設V是一個n維向量空間,A是一個集合,其中的元素被稱為點,如果對A中每兩個點P、Q都唯一對應着V中的一個向量
,並且這種對應規則還滿足:①
(V中零向量);②任給P點和V中向量a,總唯一存在點Q使
;③對A中任意三點
,成立
,則稱A為一個n維仿射空間。
時,稱之為仿射平面。由此可見,仿射幾何是一般歐氏幾何的一種擴展。在仿射變換下,直線變為直線,平行直線變為平行直線,但長度與角的大小要改變。這種變換最先由18世紀瑞士數學家歐拉注意到,他在論述解析幾何與微分幾何的座標變換時涉及到仿射座標變換問題。19世紀初,德國數學家麥比烏斯在《重心的計算》(1827)一書中引入仿射幾何的若干基本概念,並以淺顯易懂和清晰嚴格的論述表達了這一新理論。他同時論述了射影幾何理論,在仿射空間中引入無窮遠點,並且將它們與原有點不加區別,就成為射影空間。由此可見,仿射空間是作為射影空間的一個特例進行討論的。麥比烏斯用它來計算物體的重心,後人將它用於形變力學的研究。麥比烏斯引入的直射變換就是將直線變為直線的仿射變換,他證明了每一個直射變換都是一個射影變換。1872年德國數學家C. F.克萊因用變換羣的觀點研究幾何學,將幾何學看作是某種元素對於變換羣的不變量理論。據此,射影幾何學就是圖形元素關於射影羣不變量的理論,而仿射變換構成的羣就成為射影變換羣的一個子羣。20世紀20年代仿射幾何學再發新支,由研究曲線和曲面在仿射變換羣下不變的性質而建立起仿射微分幾何學,豐富了仿射幾何學的內容 [1] 
參考資料
  • 1.    《數學辭海》編輯委員會.數學辭海·第一卷:中國科學技術出版社,2002.08