微分幾何講義

本書系統地論述了微分幾何的基本知識。作者用前3章，以及第6章共計4章的篇幅介紹了流形、多重線性函數、向量場、外微分、李羣和活動標架等基本知識和工具。基於上述基礎知識，論述了微分幾何的核心問題，即聯絡、黎曼幾何、以及曲面論。第7章是當前十分活躍的研究領域——複流形。陳省身先生是此研究領域的大家，此章包含有作者獨到、深刻的見解和簡捷、有效的方法。第8章的Finsler幾何是本書第2版新增加的一章，它是陳省身先生近年來一直倡導的研究課題，其中Chern聯絡具有突出的性質，它使得黎曼幾何成為Finsler幾何的特殊情形。最後兩個附錄，介紹了大範圍曲線論和曲面論，以及微分幾何與理論物理關係的論述，為這兩個活躍的前沿領域提出了不少進一步的研究課題。

此書可作為高校數學與理論物理專業高年級本科生和研究生教材，也可供從事物理和數學等相關學科研究人員參考。如果從雙語教學角度來考慮，它無疑也是理想的候選者。

本書的作者之一是已故數學家陳省身先生，他開創並領導着整體微分幾何、纖維叢微分幾何、“陳省身示性類”等領域的研究，他是第一個 ^[2]  獲得世界數學界最高榮譽“沃爾夫獎”的華人，被稱為“當今最偉大的數學家”，被國際數學界尊為“微分幾何之父”。

1 Differentiable Manifolds .

1-1 Definition of Differentiable Manifolds

1-2 Tangent Spaces

1-3 Submanifolds

1-4 Frobenius‘ Theorem

2 Multilinear Algebra

2-1 Tensor Products

2-2 Tensors

2-3 Exterior Algebra

3 Exterior Differential Calculus

3-1 Tensor Bundles and Vector Bundles

3-2 Exterior Differentiation

3-3 Integrals of Differential Forms

3-4 Stokes‘ Formula

4 Connections

4-1 Connections on Vector Bundles

4-2 Affine Connections

4-3 Connections on Frame Bundles

5 Riemannian Geometry

5-1 The Fundamental Theorem of Riemannian Geometry

5-2 Geodesic Normal Coordinates

5-3 Sectional Curvature

5-4 The Gauss-Bonnet Theorem

6 Lie Group and Moving Frames

6-1 Lie Groups

6-2 Lie Transofrmation Groups

6-3 The Method of Moving Frames

6-4 Theory of Surfaces

7 Complex Manifolds

8 Finsler Geometry

A Historical Notes

B Differential Geometry and Theoretical Physics

References

Index