代數K理論

代數K理論主要研究環範疇到與作用，其中最基本的是K₀與

，代數K理論與幾何拓撲、拓撲K理論、代數幾何、典型羣、代數數論等學科都有着 密切的聯繫。在一定的意義上來説，它又是線性代數中空間的維數、行列式以及同調代數的更高層次的發展。

設R為幺環，ProjR為R上有限生成投射模同構類的半羣，則K₀(R)為ProjR的格羅滕迪克羣。K₀為函子。

1.K₀為連續函子，即保持歸納極限。

2.若R為除環，則ProjR同構於

，而K₀(R)同構於

。

3.若R為交換幺環，則K₀(R)對於張量積而言是交換幺環。

4.R上可數生成投射模同構類的交換幺半羣的格羅滕迪克羣平凡。

5.森田不變性。對任意正整數n，都有自然同構

。

6.對任意環R，ProjR相當於冪等矩陣的集合Idem(R)上GL(R)的共軛軌道。

切除定理：設I為環R的雙邊理想，則

。 ^[2] 

設R為幺環，E(R)為n維初等矩陣(對角元為1，且最多一個非對角元非零的矩陣)生成的GL(R)的子羣。則K₁(R)=GL(R)/E(R)。

等價定義為K₁(R)=GL(R)/[GL(R),GL(R)]，即懷特黑德羣。 ^[3] 

K₁為函子。

森田不變性：對任意正整數n，都有自然同構

。 ^[2] 

設R為幺環，St(R)為施坦貝格羣。則K₂(R)=ker(St(R)→E(R))。K₂為函子。

森田不變性。對任意正整數n，都有自然同構

。 ^[2] 

代數K理論主要介紹K₀,K₁,K₂函子及相關的內容。對

，

，現已有多種定義，其中最著名的是奎倫（Quillen, D. G.）於1970年定義的

。 更進一步地，對i為任意整數，研究函子

，這些內容可查閲有關文獻。下面，凡提到模（即環模）均指左環模，塞爾（Serre，J. P.）於1955年證明：一個仿射簇上的向量叢範疇與這個仿射簇之座標環上的有限生成投射模範疇等價。斯萬（Swan，R. G.）於1962 年又將此結果推廣到緊緻的豪斯多夫空間，從而給出了拓撲K理論與代數K理論的一個緊密的聯繫，大大推動了代數K理論的發展。 ^[1]