主象徵

設P為X上E到F的m階微分算子，光滑復向量叢(⊙^mTX)⮿Hom(E,F)的截面σ(P)稱為P的主象徵。 ^[2] 

高階偏微分算子的象徵是線性偏微分算子對應的多項式，稱

是區域Ω上的m階線性偏微分算子，稱

的多項式

為偏微分算子

的象徵，而稱ξ的多項式

為偏微分算子

的主象徵，這裏

微分算子(differential operator)是一類常見而又重要的算子，它是微分方程中研究的核心對象。設A是由某函數空間E₁到函數空間E₂的映射，f=Au(u∈E₁，f∈E₂)，如果像f在每個點x處的值f(x)由原像u和它的某些導函數在x處的值所決定，則稱A為微分算子。當A還是線性時，稱A是線性微分算子。例如

就是線性微分算子，其中α=(α₁，α₂，…，α_n)為非負的整數組，

是定義在n維歐幾里得空間某個開集Ω上的函數，當n=1時，P(x，D)是常微分算子；當n≥2時，P(x，D)是偏微分算子 ^[1]  。

未知函數具有多個自變量，含有這種未知函數的一個或多個偏導數的微分方程稱為偏微分方程。如自變量只有一個就成為常微分方程。如方程不止一個，就稱為偏微分方程組。

就是一個典型的偏微分方程。

就是一個典型的常微分方程。

如果偏微分方程中，未知函數及它的所有偏導數都是線性的，且方程中的係數都僅依賴於自變量(或者是常數)，那麼這樣的偏微分方程就稱為線性偏微分方程，特別的，如果方程中的係數都是常數，則稱為常係數偏微分方程。顯然，如果方程中的係數是自變量的函數，則稱為變係數偏微分方程。方程中出現未知函數及偏導數不是線性的，則稱為非線性偏微分方程。線性偏微分方程是一類重要的偏微分方程，關於所有未知函數及其導數都是線性的偏微分方程稱為線性偏微分方程。例如，拉普拉斯方程、熱傳導方程及波動方程都是線性偏微分方程。 ^[1] 

線性偏微分方程的性質

引入線性偏微分算子

則線性偏微分方程可簡寫為

線性偏微分方程有以下性質：

1)如

，則

。如

．則

(c是常數)。

2)如

是齊次方程

的通解，v是非齊次方程

的特解，則

是非齊次方程

的通解。

3)如

是

的特解，則

(

是常數)是

的解。

4)如

是

的解，則

是的解。其中

是參變量，

是任意函數。如

，則

(c是常數)。