Taylor

Taylor於1709年後移居倫敦，獲法學碩士學位。他在 1712年當選為英國皇家學 會會員，並於兩年後獲法學博士學位。同年（即1714年）出任 英國皇家學會秘書，四年 後因健康理由辭退職務。1717年，他以泰勒定理求解了數值方程。最後在1731年1 2月29日於倫敦逝世。

泰勒的主要着作是1715年出版的《正 的和反的增量方法》，書內以下列形式陳述出他已於 1712年7月給其老師梅欽（數學家 、天文學家）信中首先提出的著名定理——泰勒定理：式內v為獨立變量的增量， 及 為流數。他假定z隨時間均勻變化，則 為常數。上述公式以現代 形式表示則為：這公式是從格雷戈裏－牛頓插值公式發展而成 的，當x=0時便稱作馬克勞林定理。1772年 ，拉格朗日強調了此公式之重要性，而且 稱之為微分學基本定理，但泰勒於證明當中並沒有考慮 級數的收斂性，因而使證明不嚴謹， 這工作直至十九世紀二十年代才由柯西完成。

泰勒定理開創 了有限差分理論，使任何單變量 函數都可展成冪級數；同時亦使泰勒成了有限差分理論的奠基者。泰勒於書中還討論了微積分對一系列物理 問題之應用，其中以有關弦的橫向振動之結果尤為重要。他透過求解方程 導出了基本頻率公式，開創了研究弦振問題之先 河。此外，此書還包括了他於 數學上之其他創造性工作，如論述常微分方程的奇異解，曲率 問題之研究等。

1715年，他出版了另一名着《線性透 視論》，更發表了再版的《線性透視原理》（1719年）。他以極嚴密之形式展開其線性透 視學體系，其中最突出之貢獻是提出和使用「沒影點」概念， 這對攝影測量製圖學之發展有 一定影響。另外，還撰有哲學遺作，發表於1793年

e

e的發現始於微分，當 h 逐漸接近零時，計算 之值，其結果無限接近一定值 2.71828...，這個定值就是 e，最早發現此值的人是瑞士著名數學家歐拉，他以自己姓名的字頭小寫 e 來命名此無理數.

計算對數函數 的導數，得，當 a=e 時，的導數為，因而有理由使用以 e 為底的對數，這叫作自然對數.

若將指數函數 ex 作泰勒展開，則得

以 x=1 代入上式得

此級數收斂迅速，e 近似到小數點後 40 位的數值是

將指數函數 ex 擴大它的定義域到複數 z=x+yi 時，由

透過這個級數的計算，可得

由此，De Moivre 定理，三角函數的和差角公式等等都可以輕易地導出.譬如説，z1=x1+y1i,z2=x2+y2i,

另方面，

所以，

我們不僅可以證明 e 是無理數，而且它還是個超越數，即它不是任何一個整係數多項式的根，這個結果是 Hermite 在1873年得到的.

甲）差分.

考慮一個離散函數（即數列） R，它在 n 所取的值 u(n) 記成 un，通常我們就把這個函數書成 或 (un).數列 u 的差分 還是一個數列，它在 n 所取的值以定義為

以後我們乾脆就把 簡記為

（例）：數列 1,4,8,7,6,-2,... 的差分數列為 3,4,-1,-1,-8 ...

注：我們説「數列」是「定義在離散點上的函數」如果在高中，這樣的説法就很惡劣.但在此地，卻很恰當，因為這樣才跟連續型的函數具有完全平行的類推.

差分算子的性質

（i) [合稱線性]

（ii) （常數） [差分方程根本定理]

（iii)

其中，而 (n(k) 叫做排列數列.

（iv) 叫做自然等比數列.

（iv)' 一般的指數數列（幾何數列）rn 之差分數列（即「導函數」）為 rn(r-1）

（乙）.和分

給一個數列 (un).和分的問題就是要算和 . 怎麼算呢 我們有下面重要的結果：

定理1 （差和分根本定理） 如果我們能夠找到一個數列 (vn），使得，則

和分也具有線性的性質：

甲）微分

給一個函數 f，若牛頓商（或差分商） 的極限 存在，則我們就稱此極限值為 f 為點 x0 的導數，記為 f'(x0) 或 Df(x），亦即

若 f 在定義區域上每一點導數都存在，則稱 f 為可導微函數.我們稱 為 f 的導函數，而 叫做微分算子.

微分算子的性質：

（i) [合稱線性]

（ii) （常數） [差分方程根本定理]

（iii) Dxn=nxn-1

（iv) Dex=ex

（iv)' 一般的指數數列 ax 之導函數為

（乙）積分.

設 f 為定義在 [a,b] 上的函數，積分的問題就是要算陰影的面積.我們的辦法是對 [a,b] 作分割：

；其次對每一小段 [xi-1,xi] 取一個樣本點 ；再求近似和；最後再取極限 （讓每一小段的長度都趨近於 0).

若這個極限值存在，我們就記為 的幾何意義就是陰影的面積.

（事實上，連續性也「差不多」是積分存在的必要條件.)

積分算子也具有線性的性質：

定理2 若 f 為一連續函數，則 存在.（事實上，連續性也「差不多」是積分存在的必要條件.)

定理3 （微積分根本定理） 設 f 為定義在閉區間 [a,b] 上的連續函數，我們欲求積分 如果我們可以找到另一個函數 g，使得 g'=f，則

注：⑴⑵兩式雖是類推，但有一點點差異，即和分的上限要很小心！

上面定理1及定理3基本上都表述著差分與和分，微分與積分，是兩個互逆的操作，就好像加法與減法，乘法與除法是互逆的操作一樣.

我們都知道差分與微分的操作比和分與積分簡單多了，而上面定理1及定理3告訴我們，要計算 (un) 的和分及 f 的積分，只要去找另一個 (vn) 及 g 滿足，g'=f （這是差分及微分的問題），那麼對 vn 及 g 代入上下限就得到答案了.換句話説，我們可以用較簡單的差分及微分操作來掌握較難的和分及積分操作，這就是"以簡御繁"的精神.牛頓與萊布尼慈對微積分最大的貢獻就在此.

甲）Taylor展開公式

這分別有離散與連續的類推.它是數學中「逼近」這個重要想法的一個特例.逼近想法的意思是這樣的：給一個函數 f，我們要研究 f 的行為，但 f 本身可能很複雜而不易對付，於是我們就想法子去找一個較「簡單」的函數 g，使其跟 f 很「靠近」，那麼我們就用 g 來取代 f.這又是以簡御繁的精神表現.由上述我們看出，要使用逼近想法，我們還需要澄清

兩個問題：即如何選取簡單函數及逼近的尺度.

（一） 對於連續世界的情形，Taylor 展式的逼近想法是選取多項函數作為簡單函數，並且用局部的「切近」作為逼近尺度.説得更明白一點，給一個直到到 n 階都可導微的函數 f，我們要找一個 n 次多項函數 g，使其跟 f 在點 x0 具有 n 階的「切近」，即，答案就是

此式就叫做 f 在點 x0 的 n 階 Taylor 展式.

g 在 x0 點附近跟 f 很靠近，於是我們就用 g 局部地來取代 f.從而用 g 來求得 f 的一些局部的定性行為.因此 Taylor 展式只是局部的逼近.當f是足夠好的一個函數,即是所謂解析的函數時，則 f可展成 Taylor 級數，而且這個 Taylor 級數就等於 f 自身.

值得注意的是，一階 Taylor 展式的特殊情形，此時 g(x)=f(x0+f'(x0)(x-x0)) 的圖形正好是一條通過點 (x0,f(x0)) 而且切於 f 的圖形之直線.因此 f 在點 x0 的一階 Taylor 展式的意義就是，我們用過點 (x0,f(x0)) 的切線局部地來取代原來 f 曲線.這種局部化「用平直取代彎曲」的精神，是微分學的精義所在.

利用 Talor 展式，可以幫忙我們做很多事情，比如判別函數的極大值與極小值，求積分的近似值，作函數表（如三角函數表，對數表等)，這些都是意料中事.事實上，我們可以用逼近的想法將微積分「一以貫之」.

複次我們注意到，我們選取多項函數作為逼近的簡單函數，理由很簡單：在眾多初等函數中，如三角函數，指數函數，對數函數，多項函數等，從算術的觀點來看，以多項函數最為簡單，因為要計算多項函數的值，只牽涉到加減乘除四則運算，其它函數就沒有這麼簡單.

當然，從別的解析觀點來看，在某些情形下還另有更有用更重要的簡單函數.例如，三角多項式，再配合上某種逼近尺度，我們就得到 Fourier 級數展開，這在應用數學上佔有舉足輕重的地位.（事實上，Fourier 級數展開是採用最小方差的逼近尺度，這在高等數學中經常出現，而且在統計學中也有應用.)

注：取 x0=0 的特例，此時 Taylor 展式又叫做 Maclaurin 展式.不過只要會做特例的展開，欲求一般的 Taylor 展式，作一下平移（或變數代換）就好了.因此我們大可從頭就只對 x=0 點作 Taylor 展式.

（二） 對於離散的情形,Taylor 展開就是：

給一個數列，我們要找一個 n 次多項式數列 (gt），使得 gt 與 ft 在 t=0 點具有 n 階的「差近」.所謂在 0 點具有 n 階差近是指：

答案是 此式就是離散情形的 Maclaurin 公式.

乙）分部積分公式與Abel分部和分公式的類推

（一） 分部積分公式：

設 u(x),v(x) 在 [a,b] 上連續，則

（二） Abel分部和分公式：

設（un),(v）為兩個數列，令 sn=u1+......+un，則

上面兩個公式分別是萊布尼慈導微公式 D(uv)=(Du)v+u(Dv），及萊布尼慈差分公式 的結論.注意到，這兩個萊布尼慈公式，一個很對稱，另一個則不然.

（丁）複利與連續複利 （這也分別是離散與連續之間的類推）

（一） 複利的問題是這樣的：有本金 y0，年利率 r，每年複利一次，要問 n 年後的本利和 yn= 顯然這個數列滿足差分方程 yn+1=yn（1+r)

根據（丙）之（二）得知 yn=y0（1+r)n 這就是複利的公式.

（二） 若考慮每年複利 m 次，則 t 年後的本利和應為

令，就得到連續複利的概念，此時本利和為y(t)=y0ert

換句話説，連續複利時，t 時刻的本利和 y(t)=y0ert 就是微分方程 y'=ry 的解答.

由上述我們看出離散複利問題由差分方程來描述，而連續複利的問題由微分方程來描述.對於常係數線性的差分方程及微分方程，解方程式的整個要點就是疊合原理，因此求解的辦法具有完全平行的類推.

（戊）Fubini 重和分定理與 Fubini 重積分定理（也是離散與連續之間的類推）

（一） Fubini 重和分定理：給一個兩重指標的數列 (ars），我們要從 r=1 到 m,s=1到 n，對 (ars) 作和，則這個和可以這樣求得：光對 r 作和再對 s 作和（反過來亦然）.亦即我們有

（二）Fubini 重積分定理：設 f(x,y) 為定義在 上之可積分函數，則

當然，變數再多幾個也都一樣.

（己）Lebesgue 積分的概念

（一） 離散的情形：給一個數列 (an），我們要估計和，Lebesgue 的想法是，不管這堆數據指標的順序，我們只按數值的大小來分堆，相同的分在一堆，再從每一堆中取一個數值，乘以該堆的個數，整個作和起來，這就得到總和.

（二）連續的情形：給一個函數 f，我們要定義曲線 y=f(x) 跟 X 軸從 a 到 b 所圍出來的面積.

Lebesgue 的想法是對 f 的影域 作分割：

函數值介 yi-1 到 yi 之間的 x 收集在一齊，令其為，於是 [a,b] 就相應分割成，取樣本點，作近似和

讓影域的分割加細，上述近似和的極限若存在的話，就叫做 f 在 [a,b] 上的 Lebesgue 積分.