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索伯列夫空間
（數學用語）
鎖定
索伯列夫空間是數學裏由函數組成的賦範向量空間，主要用來研究偏微分方程理論，它以前蘇聯數學家С.Л.索伯列夫命名。
- 中文名
- 索伯列夫空間
- 外文名
- Sobolev space
- 所屬學科
- 泛函分析
- 別 名
- 索佈列夫空間
索伯列夫空間向量叢定義
索伯列夫空間施瓦茲空間定義
索伯列夫空間性質
索伯列夫空間等價定義
對於任何實數
，以及實數
，我們可以定義索伯列夫空間
。
索伯列夫空間整數k的索伯列夫空間
索伯列夫空間非整數s的索伯列夫空間
函數的
範數是
索伯列夫空間索伯列夫空間的動機
在研究偏微分方程中，人們往往需要運用泛函分析的相關知識，因此需要找到一個合適的空間。在索伯列夫空間中，偏微分方程的解得到了某種意義下的“弱化”（下見弱導數部分），這導致人們可以在更大的空間中求偏微分方程的解以及解的正則性等性質。
[1]
索伯列夫空間弱導數
索伯列夫空間弱導數的動機
注意到因為函數
具有緊支集，故式中的邊界項為
。因此我們考慮多重指標
，其中
為非負整數，我們記
，則有
我們記
則
是函數
的導數。弱導數就是這樣的思想在
空間裏的類比。
索伯列夫空間弱導數的定義
假設
，
是一個多重指標，若對於任何測試函數
，
則稱
是
的
階弱偏導數，記做
可以證明如果一個函數的
階弱偏導數存在，那麼偏導數在幾乎處處為零的意義上是唯一的。
索伯列夫空間索伯列夫延拓算子
索伯列夫空間延拓定理
滿足對於任何
有
(i) 在
中幾乎處處：
；
(ii)
的支集包含於
；
(iii) 存在依賴於
，
和
的常數
滿足：
。
索伯列夫空間全延拓算子
若
且
是一個李普希茲區域，則存在一個將
上幾乎處處定義的函數送到
上幾乎處處定義的函數的線性算子
滿足
且對於任何正整數
有
。
索伯列夫空間索伯列夫嵌入
索伯列夫空間Morrey不等式
對於
，那麼存在常數
使得對於任何
都有
其中
。
推廣：
如果
，那麼存在一個常數
使得對於任何
其中若
，
，若
，
為任何
中的實數。
索伯列夫空間GNS不等式
不等式：如果
，則存在常數
使得對於任何函數
都有
嵌入：若
是一個
中的有界開集且其邊界為
的。假設
，那麼對於
，都有
，且存在常數
使得
- 參考資料
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- 1. Haim, Brezis, 魏玉保. 泛函分析,索伯列夫空間和偏微分方程[J]. 國外科技新書評介, 2012, 88(3):1-1.
- 2. 周憶. 非線性薛定諤方程當初值在索伯列夫空間 W^{s,p, p
- 3. 鍾延生. 關於延拓算子的一個註記[J]. 福建師大學報(自然科學版), 2012, 28(4):20-24.
- 4. 陳國旺. 索伯列夫空間導論[M]. 科學出版社, 2013.
- 5. Gerald B. Folland．實分析 第2版：WILEY，1999
- 6. H. Blaine Lawson, JR. Marie-Louise Michelsohn．自旋幾何：Springer，1989
