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lipschitz條件
鎖定
在
數學中，特別是
實分析，
lipschitz條件，即利普希茨連續條件（Lipschitz continuity），以德國數學家魯道夫·利普希茨命名，是一個比通常
連續更強的光滑性條件。直覺上，利普希茨連續函數限制了函數改變的速度，符合利普希茨條件的函數的斜率，必小於一個稱為利普希茨常數的實數（該常數依函數而定）。
- 中文名
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lipschitz條件
- 外文名
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Lipschitz condition
- 名稱由來
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以德國數學家魯道夫利普希茨命名
- 簡 介
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一個比一致連續更強的光滑性條件
- 別 名
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利普希茨連續條件
lipschitz條件定義
對於在實數集的子集的函數
，若存在
常數，使得
，則稱
符合
利普希茨條件，對於
最小的常數
稱為
的
利普希茨常數。若
，
稱為
收縮映射。
給定兩個度量空間
，
。若對於函數
，存在常數
使得
則稱
為
雙李普希茨(bi-Lipschitz)的。
[1]
lipschitz條件皮卡-林德洛夫定理
若已知
有界，
符合利普希茨條件，則微分方程初值問題
剛好有一個解。
在應用上，
通常屬於一有界閉
區間（如
）。於是
必有界，故
有唯一解。
lipschitz條件例子
符合利普希茨條件，
。由此可見符合利普希茨條件的函數未必可微。
當且僅當處處可微函數f的一次導函數有界，f符合利普希茨條件。這是中值定理的結果。所有
函數都是局部利普希茨的，因為局部緊緻空間的連續函數必定有界。
[2]
lipschitz條件性質
Rademacher定理：若
且
為開集，
符合利普希茨條件，則f幾乎處處可微。
Kirszbraun定理：給定兩個
希爾伯特空間，
符合
利普希茨條件，則存在符合利普希茨條件的
，使得
的利普希茨常數和
的相同，且
。
[2]
- 參考資料
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1.
M. D. Kirszbraun. Uber die zusammenziehenden und Lipschitzchen Transformationen. Fund. Math., (22):77–108, 1934.
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2.
J.T. Schwartz. Nonlinear functional analysis. Gordon and Breach Science Publishers, New York, 1969.
