Arakelov不等式

χ_f＜（g-q_f）(b-1+s/2).

這裏q_f=q(X)-b, q(X)=h^1(O_X)是曲面非正則性。

這一不等式也可以改進為：

χ_f＜（g-q_f）(b-1+r/2).

這裏r是奇異雅可比纖維的個數。 所謂奇異雅可比纖維就是指其組合結構所對應的對偶圖含有圈。顯然r≦s.

值得注意的是，此處纖維化是半穩定纖維化 這一條件較為重要。 如果不是奇異纖維不是半穩定纖維， 那麼不等式需要改為：

χ_f＜（g-q_f）(b-1+r).

註記： 上述這些形式並非原始的Arakelov不等式， 見下述背景介紹。

χ_f＜g(b-1+s/2).

建立這一不等式的初衷是為了給出算術代數幾何中的高度不等式。 所謂高度不等式， 在經典代數幾何理論--特別是代數曲面理論-中，相當於Vojta不等式（也就是典範類不等式）這一類型的不等式。

曲面情形的Arakelov不等式的改進形式，來自於談勝利、左康和E.Viehweg的合作工作。 事實上， 這一不等式可以寫為一個精確的等式， 其誤差部分，與Hodge數h^{1,1}(X)的估計有關。

Arakelov不等式高維情形的深刻推廣來自於左康和E. Viehweg的著名工作。設f:X→C是一般纖維為n維代數簇的纖維化， C是虧格b的底曲線， 奇異纖維個數s。由多重典範線性系|νK_{X}|誘導的關於f的正向層記為E. 設F是E的秩為k的子層。那麼我們有

deg F≦(nνk)(b-1+s/2).

如果考慮曲面情形，那麼這一不等式的極限情形藴含了典範類不等式 ， 而後者又等價於開曲面情形的宮岡-丘不等式。 反過來， 典範類不等式結合肖剛不等式 可以推出原始的Arakelov不等式。

考慮曲面情形。 設f:X→C是半穩定的虧格g纖維化, 底曲線是射影直線P^1(也就是虧格0的代數曲線， 或者也可看成擴充複平面)。 那麼我們得到如下結論:

(1) f至少有4條奇異雅可比纖維， 因此也就至少有4條奇異纖維；

(2) 如果恰好有4條奇異雅可比纖維， 那麼曲面虧格p_g(X)=0, 非正則性q(X)≦1.

進一步還可以得到精確的充要條件，這裏限於篇幅，不再詳細敍述。

一個曲面纖維化如果只有兩條奇異纖維，且底曲線是射影直線， 那麼由上述推論可知， 該纖維化必為isotrivial纖維化。