齊次方程

1、所含各項關於未知數具有相同次數的方程,例如

等。它們的左端,都是未知數的齊次函數或齊次多項式。2、右端為零的方程(組)亦稱為齊次方程(組)，例如線性齊次(代數)方程組、齊次微分方程等。

1、線性方程乘積的導數。

或

等等為線性方程當

時稱為齊次方程。

2、如果一個一階微分方程

中的函數

可寫成

的函數，即

，則這個方程是齊次方程。

“齊次”從詞面上解釋是“次數相等”的意思。

微分方程中有兩個地方用到“齊次”的叫法：

1、形如

的方程稱為“齊次方程”，這裏是指方程中每一項關於x、y的次數都是相等的，例如

都算是二次項，而

算0次項，方程

中每一項都是0次項，所以是“齊次方程”。

2、形如y''+py'+qy=0的方程稱為“齊次線性方程”，這裏“齊次”是指方程中每一項關於未知函數y及其導數y'，y''，……的次數都是相等的（都是一次），方程中沒有自由項（不包含y及其導數的項），“線性”則表示導數之間是線性運算（簡單地説就是各階導數之間的只能加減），比如方程y''+py'+qy=x就不是“齊次”的,因為方程右邊的項x不含y及y的導數，是關於y,y',y'',……的0次項，因而就要稱為“非齊次線性方程”，方程yy'=1也不是，因為它首先不是線性的。

另外在線性代數裏也有“齊次”的叫法，例如

稱為二次齊式，即二次齊次式的意思，因為f中每一項都是關於x、y的二次項。

如果一階微分方程

中的函數

可寫成

的函數，即

，則稱這方程為齊次方程。例如

是齊次方程，因為其可化為

（1）特點：方程中每一項的次方相同，且都可以化為一般形式

。

（2）解法：令

，即

，則

，於是原方程可化為

，即

，成為可分離變量的微分方程，求解後再用

代替

即得原方程的通解。 ^[1] 

形如方程

其中

為常數，且

.當

時，令

，由

解出h與k，可將原方程化為齊次方程

當

時，即

,可設

，代入原方程後可化為可分離變量的微分方程，既有