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雙階乘

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雙階乘是一個數學概念，用n!!表示 [1]  。正整數的雙階乘表示不超過這個正整數且與它有相同奇偶性的所有正整數乘積。前10個自然數（從0到9）的雙階乘分別為：1, 1, 2, 3, 8, 15, 48, 105, 384, 945 [2-3]  。
中文名
雙階乘
外文名
double factorial
別    名
二重階乘
符    號
n!!
學    科
數學

目錄

  1. 1 雙階乘的定義
  2. 2 恆等式
  3. 3 實數域上的雙階乘
  1. 4 關於積分的恆等式
  2. 5 部分雙階乘的數值

雙階乘雙階乘的定義

雙階乘的定義為: [4] 
當
為偶數時,它的雙階乘為:
而當
為奇數時, 它的雙階乘則為:
一些示例：
我們定義
。
注意: 不要將雙階乘(
)與階乘的階乘(
)搞混。
如
，但
。
當
是負奇數時，根據遞推公式
，可知
的絕對值等於絕對值小於它的絕對值的所有負奇數的絕對值積的倒數，且正負交替出現。如：
在書寫負數的雙階乘時，要把負數應帶上括號以避免歧義。
一些示例：
另有
。 [5] 
當n是負偶數時，由遞推公式可知
沒有意義，所以負偶數沒有雙階乘。

雙階乘恆等式

  1. 對於任意正整數
    ，有
2. 對於任意整數
，有

雙階乘實數域上的雙階乘

當把雙階乘的定義域擴展到實數域的時候，雙階乘的定理則變為：
其中
的定義參見伽瑪函數。
在此定義下，奇數的雙階乘值沒有改變，而偶數的雙階乘值在原定義上除以
，第二條恆等式依然成立。
通常情況下，在計算機中實數的雙階乘由下列公式給出：
在此定義下，兩條恆等式依然成立。

雙階乘關於積分的恆等式

第二種定義下的雙階乘滿足恆等式（n為偶數時）：
以及

雙階乘部分雙階乘的數值

的數值
第一種定義下的
第二種定義下的
（保留三位小數）
7
105
105
8
384
306.388
9
945
945
10
3 840
3 063.877
11
10 395
10 395
12
46 080
36 766.521
13
135 135
135 135
14
645 120 [2] 
514 731.288
15
2 027 025 [3] 
2 027 025
參考資料