開立方

求一個數的立方根的運算方法。

1．將被開立方數的整數部分從個位起向左每三位分為一組；

2．根據最左邊一組，求得立方根的最高位數；

3．用第一組數減去立方根最高位數的立方，在其右邊寫上第二組數；

4．用求得的最高位數的平方的300倍試除上述餘數，得出試商；並把求得的最高位數的平方的300倍與試商的積、求得的最高位數的30倍與試商的平方的積和試商的立方寫在豎式左邊，觀察其和是否大於餘數，若大於，就減小試商再試，若不大於，試商就是立方根的第二位數；

5．用同樣方法繼續進行下去。

第1、2步同上。

第三步，商完後，落下餘數和後面緊跟着的三位，如果後面沒有就把餘數後面添上三個0；

第四步，將要試商的數代入式子“已商數×要試商數×（10×已商數+要試商數）×30+要商數的立方”，最接近但不超過第三步得到的數者，即為這一位要商的數。

然後重複第3、4步，直到除盡。

《九章算術》中講了開平方、開立方的方法 ^[1]  ，所不同的是古代用籌算進行演算，現以少廣章第12題為例，説明古代開平方演算的步驟，“今有積五萬五千二百二十五步，問為方几。”答曰：“二百三十五步。”這裏所説的步是中國古代的長度單位。

開立方 ^[1] 

〔立方適等，求其一面也。〕

術曰：置積為實。借一算，步之，超二等。

〔言千之面十，言百萬之面百。〕

議所得，以再乘所借一算為法，而除之。

〔再乘者，亦求為方冪。以上議命而除之，則立方等也。〕

除已，三之為定法。

〔為當復除，故豫張三面，以定方冪為定法也。〕

復除，折而下。

〔復除者，三面方冪以皆自乘之數，須得折、議，定其厚薄爾。開平冪者，

方百之面十；開立冪者，方千之面十。據定法已有成方之冪，故復除當以千為百，

折下一等也。〕

以三乘所得數，置中行。

〔設三廉之定長。〕

復借一算，置下行。

〔欲以為隅方。立方等未有定數，且置一算定其位。〕

步之，中超一，下超二等。

〔上方法，長自乘而一折，中廉法，但有長，故降一等；下隅法，無面長，

故又降一等也。〕

復置議，以一乘中，

〔為三廉備冪也。〕

再乘下，

〔令隅自乘，為方冪也。〕

皆副以加定法。以定法除。

〔三面、三廉、一隅皆已有冪，以上議命之而除，去三冪之厚也。〕

除已，倍下，並中，從定法。

〔凡再以中、三以下，加定法者，三廉各當以兩面之冪連於兩方之面，一隅

連於三廉之端，以待復除也。言不盡意，解此要當以棋，乃得明耳。〕

復除，折下如前。開之不盡者，亦為不可開。

〔術亦有以定法命分者，不如故冪開方，以微數為分也。〕 ^[2] 

1、數m開n次方，n位一節為一根，前根均作a，a後需求的根均作b；前根a的位數不斷增長，後根b永遠作一位根視；直至開盡或開至所需要的位數。

2、首位a根用1～9內n方訣直接確定（隨後就無a根系列的事了；或用雙根或多位根作a；即將約小於被開數的乘方數的冪底整數值作為a根，再求b=x），b根用“標準固律方程式”或“簡易求b方程式”求 ^[3]  。

正向乘方式：m=（a+b），n=aⁿ+bⁿ+s（s根據n的數字而定值）

逆向開方時：m－a^n=b^n+s=x^n+s；m－a^n－b^n=s；

如二次方的s=2ab；

三次方的s=3abD（D=a+b）；

五次方的s=5abD（D^2－ab）；

其它任意次方的固律參數照推。

即：b^n=m－a^n－s=c－s（c為可知數，s、b^n為潛態可知數）

例如：（a+b）^3=a^3+b^3+3(a^2)b+3a(b^2)=a^3+b^3+3ab（a+b）= m=a^3+b^3+3abD(D=a+b)

所以：（a+b）^3=m=a^3+b^3+3abD(D=a+b)

其他任意高次方的轉換方式理同最簡單、用式最短的三次方原理實用式記法。

但m開3次方時，這個原公式幫不上忙了，即必須進行轉換。

因此成：（a+b）^3=a^3+b^3+3(a^2)b+3a(b^2)=a^3+b^3+3ab（a+b）=m= a^3+b^3+3abD(D=a+b)，

而後面轉換成為m=a^3+b^3+3abD(D=a+b)，則m開方時就有同二次方一樣的公式[求根式]可用了，在任意高次方中理同二次方無異。

也即在實際開高次方或無窮大指數時，或高次方程的運算過程中（注意：求b=x根就是科學上的各種一元n次方的標準方程式），《結構數學》都將現代數學式中的式子按照“結構原理”進行了處理與轉換，使它都按照統一規律形式的規律型公式去表達，目的：便於快速簡潔的進行運算，並符合“算術公里的無矛盾性標準”。

m=（a+b）^2=a^2+b^2+2ab=aa+bb+2ab；這個2ab就是二次方的S；所以二次方都會解！

而：

m=（a+b）^3=a^3+b^3+3(a^2)b+3a(b^2)=aaa+bbb+3aab+3abb=a^3+b^3+3ab（a+b）= a^3+b^3+3abD【D=a+b】；這個3abD就是三次方的S；

又如，m=（a+b）^5=a^5+b^5+5(a^4)b+10(a^3)(b^2)+10(a^2)(b^3)+5a(b^4)= a^5+b^5+5abD(D^2-ab)

五次方的S=5abD(D^2-ab) =5(a^4)b+10(a^3)(b^2)+10(a^2)(b^3)+5a(b^4)。

而這些3ab（a+b）=3abD=S；5abD(D^2-ab) =5(a^4)b+10(a^3)(b^2)+10(a^2)(b^3)+5a(b^4)=S，這個S就是高次方程解的奧秘。

在無窮大次方中，你知道了S，那麼高次方的解同二次低方解的S=2ab的方式、方法沒有任何區別的簡單的不值一文錢了，也沒有任何解的障礙或稱為難題的必要了。

公式：5介於1^3至2^3之間（1的3次方=1，2的3次方=8）

可以取1.1，1.2，1.3，1.4，1.5，1.6，1.7，1.8，1.9，2.0都可以，例如2.0。按照公式：

第一步：

={2.0+[5/(2.0^2-2.0]1/3=1.7}。輸入值大於輸出值，負反饋；

即5/2×2=1.25，1.25-2=-0.75，0.75×1/3=0.25，

2-0.25=1.75，取2位數值，即1.7。

第二步：

={1.7+[5/(1.7^2-1.7]1/3=1.71}。輸入值小於輸出值，正反饋；

即5/1.7×1.7=1.73010，1.73-1.7=0.03，0.03×1/3=0.01，

1.7+0.01=1.71。取3位數，比前面多取一位數。

第三步：

={1.71+[5/(1.71^2-1.71]1/3=1.709}。輸入值大於輸出值，負反饋；

第四步：

={1.709+[5/(1.709^2-1.709]1/3=1.7099}.輸入值小於輸出值，正反饋；

這種方法可以自動調節，第一步與第三步取值偏大，但是計算出來以後輸出值會自動轉小；第二步，第四步輸入值偏小，輸出值自動轉大

=1.7099.

當然也可以取1.1，1.2，1.3，...，1.8，1.9中的任何一個。

例如，A=5：

5介於2的平方至3的平方之間。初始值2.1，2.2，2.3，2.4，2.5，2.6，2.7，2.8，2.9都可以，最好取 中間值2.5。

第一步：2.5+（5/2.5-2.5)1/2=2.2；

即5/2.5=2，2-2.5=-0.5，-0.5×1/2=-0.25，2.5+(-0.25)=2.25，取2位數2.2。

第二步：2.2+(5/2.2-2.2)1/2=2.23；

即5/2.2=2.27272，2.27272-2.2=-0.07272，-0.07272×1/2=-0.03636，2.2+0.03636=2.23。取3位數2.23。

第三步：2.23+(5/2.23-2.23)1/2=2.236。

即5/2.23=2.2421525，

2.2421525-2.23=0.0121525，

0.0121525×1/2=0.00607，

2.23+0.006=2.236，取4位數。

每一步多取一位數。這個方法又叫反饋開方，即使你輸入一個錯誤的數值，也沒有關係，輸出值會自動調節，接近準確值 ^[3]  。