量子力學

本書是為物理學專業與應用物理專業本科生學習量子力學 ^[1]  課程而編寫的，也可以作為理工科其他專業的學生學習量子力學的主要參考書。內容包括量子力學的實驗基礎、波函數與薛定諤方程、一維定態問題、量子力學的數學初步和基本假設、與時間無關問題的代數研究、中心力場、定態微擾理論、變分法、與時間有關的微擾理論——量子躍遷、幾個典型應用、彈性散射、全同粒子體系。本書設定的教學學時在70學時左右。書中安排了一些選讀內容，還安排了一定數量的習題，可以使讀者更深入地掌握有關內容，並能應用量子力學解決一些實際問題。

為解釋黑體輻射的能譜問題，1900年普朗克提出了“能量子”假設，開創了研究微觀世界物理理論的新紀元。隨着量子力學的誕生和發展，人類對微觀世界的物質運動規律的認知達到了前所未有的程度，物理學對科學技術的發展和人類文明的進步做出了重要貢獻。

20世紀之所以被稱為物理學的世紀，相對論和量子力學起了主要作用。量子力學理論被廣泛地應用到物理學的所有領域，並對其他自然科學學科的發展和生產技術領域的進步也產生了重大的影響。現代宇宙學、現代光學、量子信息學、生物遺傳工程、量子化學、激光和超導等領域都在量子力學的基礎上得到飛速發展。量子場論、相對論量子力學、規範場理論、量子固體理論等理論的發展與成熟，也為量子力學理論的深入發展注入了新的活力和強勁的動力。量子力學在各個科技領域取得的成就，深化了人類對微觀世界的認識，極大地增強了人類對自然的支配能力，同時也成為人類處理微觀世界問題最重要的理論，成為幾乎所有高等學校相關專業涉及微觀領域必學的一門專業基礎課程。

本書的編者之一高守恩曾在安徽大學、杭州師範學院的物理學專業多次講授量子力學課程，雖然當前國內外量子力學的教材很多，其中不乏優秀的教材，但對於師範院校的學生，真正適合學生的教材並不是很多。相比綜合性大學，師範類學生由於要學習大量的教育類課程，所以在專業課學習方面就受到課時壓縮的限制，學生的近代物理基礎和數學基礎也沒有綜合型大學厚實，針對這些情況，我們編寫了這套講義，並在教學中使用了多年。從使用的效果來看，它有效地解決了學生近代物理基礎和數學基礎不夠厚實的困境，教學的深度也基本達到了綜合型大學的要求，學生在大四考研時，參加量子力學這門課程的研招考試也覺得有信心。歷屆用過本講義的學生，考研時在量子力學課程上的表現都不錯。本書就是在該講義基礎上修編而成的。

全書共分為 13章：

第 1章《量子力學的實驗基礎》，重點介紹量子力學起源時的諸如黑體輻射、光電效應等幾個著名實驗，從中可以看到“頭頂上的幾朵烏雲”如何使得經典物理學無能為力，催生出新的微觀世界的理論——量子力學成為必然。

第 2章《波函數與薛定諤方程》，內容包括波函數及其統計解釋以及薛定諤方程，揭示了在微觀粒子具有波粒二象性的基礎上，如何用波函數來描寫其狀態，如何建立薛定諤方程來討論其運動。

第 3章《一維定態問題》，這一章是用薛定諤方程來討論幾個簡單的量子體系問題，包括方勢阱、諧振子、 .函數勢、自由粒子、勢壘上的散射和貫穿問題。

第 4章《量子力學的數學初步》，討論單粒子的波函數空間和表象與表象變換兩個問題，目的是使讀者能迅速地掌握量子力學中用到的最基本的數學工具，着眼於量子力學中一些有用的數學概念和數學運算，而略去了那些普遍定義和嚴格證明。

第 5章介紹量子力學的基本假設，內容涉及態和態的疊加原理、力學量的算符表示、測不準關係、運動方程、全同粒子體系和交換對稱性。量子力學就是建立在這幾個基本假設上的，雖然這些假設不能為實驗所證明，但近一個世紀以來從量子力學所得的結果和實驗結果很好地符合這一事實，也充分證實了這些量子力學基本假設的正確性。

第 6章是與時間無關問題的代數研究，從量子力學的基本假設和數學出發重新考慮線性諧振子，進而再研究一維和三維剛性轉子的運動，角動量本徵值的代數求解，可為討量子力學 論轉動和轉動不變性以及自旋建立很好的基礎。

第 7章討論中心力場問題。在量子力學中，中心力場具有十分重要的地位。這一章首先在球座標系中對薛定諤方程進行分離變量，進而用之討論無限深的球勢阱，討論三維各向同性的諧振子，討論氫原子問題和兩體問題，特別是氫原子問題的量子力學求解，是對量子力學基本假設的重要驗證。

第 8章定態微擾理論，討論量子力學中一個重要的近似方法。內容涉及非簡併的和簡併的微擾理論，並應用於解釋氫原子的一級斯塔克效應。第 9章變分法。在微擾方法不再適用時，變分法是量子力學處理實際問題的另一個重要的近似方法。本章內容涉及變分法的基本理論以及在諧振子、氫原子和氦原子上的變分處理。

第 10章是與時間有關的微擾理論——量子躍遷，內容涉及量子躍遷和量子幾率，一級含時微擾理論，幾種典型微擾下的躍遷幾率，關於能量與時間的測不準關係，原子對電磁輻射的吸收和發射，激光原理。

第 11章是前面幾章方法的應用，在這一章中，首先討論了規範變換，進一步討論了粒子在均勻磁場中的運動和朗道能級、量子霍爾效應、均勻磁場中的電子自旋動力學和磁共振、角動量耦合、塞曼效應、

自旋單態和三重態，本章的許多問題已經在原子物理課程中涉及，但讀者在這裏可以看到

用量子力學的全新視野如何重新審視這些問題。

第 12章討論彈性散射，這是可以和物理實驗緊密對照的課題。將首先介紹散射界面和散射的量子力學描述，進而討論分波法和光學定理，討論在方勢阱和方勢壘上產生的散射現象。這一章還涉及低能散射，也討論了波恩近似和金屬粒子的散射問題。第 13章討論全同粒子體系，主要討論了由兩個全同粒子組成的系統，討論了氦原子和氫分子問題，最後討論了佔有數空間下玻色子和費米子的二次量子化問題。

本書的講義原稿以高守恩為主編寫，楊建宋對原講義進行了補充和修訂。本書的統稿和技術加工由楊建宋完成。

本書適用的對象主要是普通高等院校和師範類院校的物理系學生和教師，可作為他們“量子力學”課程的教材或主要參考書。也可以作為理科其他專業（如化學類）學生學習量子力學或量子化學課程的主要參考書。本書的推薦學時是每週 4學時，一個學期共 70學時左右。本書的宗旨就是在有限的篇幅內，對量子力學有一個完整準確的描述，使讀者對應用量子力學解決實際問題有一個全新的瞭解。在當前物理類學生碩士招生考試中，量子力學常常是一門必考的課程，本書將用嚴謹的主體知識結構和豐富實用的量子力學應用為讀者參加研招考試提供幫助。限於編者的水平，書中肯定有不夠完善之處，希望讀者不吝指正。

在本書的編寫和出版過程中，得到了杭州師範大學理學院的大力支持，也得到了國家自然科學基金（ No. 11274084）和杭州師範大學“大學物理教學改革”、“近代物理實驗精品課程建設”以及“經亨頤學院物理專業特色課程羣建設”等課改項目的支持，李康教授仔細閲讀了書稿，並提出了很多有益的建議，這些建議已經在書稿的修編中得到了很好的體現。在此謹向他們表示衷心的感謝。

高守恩 楊建宋

2014年 4月

第 1章 量子力學的實驗基礎 1

第 2章波函數與薛定諤方程 12

第 3章 一維定態問題 23

第 4章 量子力學的數學初步 51

第 5章 量子力學的基本假設 75

第 6章 與時間無關問題的代數研究 92

第 7章 中心力場 115

第 8章 定態微擾理論 131

第 9章 變分法 144

第 10章 與時間有關的微擾理論 ——量子躍遷 151

第 11章 幾個典型的應用 169

第 12章 彈性散射 190

第 13章 全同粒子體系 208

習題答案 222

參考文獻 237