線性諧振子

如果在一維空間內運動的粒子勢能為

，

是常量，則這種體系就稱為線性諧振子。這個問題的重要性在於許多體系都可以近似地看作是線性諧振子。例如，雙原子分子中兩原子之間的勢能

是兩原子間距離

的函數，其形狀如圖一所示。

在

處，勢能有一極小值，這是一個穩定平衡點。在這點附近，

可以展成

的冪級數，又因為在

處，

，所以

可以近似地寫成：

式中

和

都是常量。這正是線性諧振子的勢能。一般説來，任何一個體系在穩定平衡點附近都可以近似地用線性諧振子來表示。

在經典力學中，線性諧振子的運動是簡諧運動。勢能為

的線性諧振子，其座標與時間的關係是

，

是振幅，

是初相。 ^[1] 

線性諧振子是物理學中一個重要的模型，許多在平衡點附近振動的物理問題都可簡化為線性諧振運動。在經典理論中質量為

、距離平衡點位置為

、振動頻率為

的線性諧振子，其總能量為：

第一項為其動能，第二項為其勢能。反之，能量具有上述形式的運動質點就稱為線性諧振子。如果粒子的哈密頓量具有形式：

其中

是粒子的動量算符，

是座標算符，則算符這樣的微觀粒子為量子力學中的線性諧振子。通過求解它的能量本徵值方程得到其能量為：

其中

=0，1，2，… 。這表明線性諧振子的能量是一系列不連續的值，其中最低的能量是

，稱為零點能。這兩點同經典諧振子截然不同。 ^[2]