邏輯代數

邏輯代數是分析和設計邏輯電路的數學基礎。邏輯代數是由英國科學家喬治·布爾（George·Boole）創立的，故又稱布爾代數。當邏輯代數的邏輯狀態多於2種時（如0、1、2或更多狀態時），其通用模型的基本邏輯有2個邏輯代數又稱布爾代數 ^[2]  。

一個是從一種狀態變為另一種狀態的邏輯，是一個一元邏輯；

另外一種是兩種狀態中按照某種規則（比如比較大小）有傾向性的選擇出其中一種狀態的邏輯，這是一個二元邏輯。依據這兩種邏輯，可以表達任意多狀態的任意邏輯關係，即最小表達式。即任意多狀態的邏輯是完備的。當邏輯狀態數擴展有理數量級甚至更多。任意數學運算都可以用兩個運算關係來聯合表達：加減法和比較大小。

參與邏輯運算的變量叫邏輯變量，用字母A，B……表示。每個變量的取值非0 即1。0、1不表示數的大小，而是代表兩種不同的邏輯狀態。正、負邏輯規定：

正邏輯體制規定：高電平為邏輯1，低電平為邏輯0。

負邏輯體制規定：低電平為邏輯1，高電平為邏輯0。

邏輯函數：如果有若干個邏輯變量（如A、B、C、D）按與、或、非三種基本運算組合在一起，得到一個表達式L。對邏輯變量的任意一組取值（如0000、0001、0010）L有唯一的值與之對應，則稱L為邏輯函數。邏輯變量A、B、C、D的邏輯函數記為：L=f(A、B、C、D)

乘法原理中自變量是因變量成立的必要條件，與邏輯的定義正好和乘法原理的描述一致，所以與邏輯和乘法對應。

加法原理中自變量是因變量成立的充分條件，或邏輯的定義正好和加法原理的描述一致，所以或邏輯和加法對應。

乘法就是廣義的與邏輯運算，加法就是廣義的或邏輯運算。與邏輯運算可以看作是乘法的特例。或邏輯運算可以看作是加法的特例。

總之，乘法原理、加法原理可以看作是與邏輯和或邏輯的定量表述；與邏輯和或邏輯可以看作是乘法原理、加法原理的定性表述。

任何一個含有變量 X 的等式，如果將所有出現 X 的位置，都代之以一個邏輯函數 F，此等式仍然成立。

設 F 是一個邏輯函數式，如果將 F 中的所有的 * 變成 +，+ 變成 *，0 變成 1，1 變成 0，而變量保持不變。那麼就的得到了一個邏輯函數式 F'，這個 F' 就稱為 F 的對偶式。如果兩個邏輯函數F 和 G 相等，則它們各自的對偶式F' 和 G' 也相等。

當已知一個邏輯函數F，要求 ¬F 時，只要把 F 中的所有 * 變成 +，+ 變成 *，0 變成 1，1 變成 0，原變量變成反變量，反變量變成原變量，即得 ¬F。運用反演規則時必須注意一下兩個原則：（1）保持原來的運算優先級，即先進行與運算，後進行或運算。並注意優先考慮括號內的運算。（2）對於反變量以外的非號應保留不變。。

邏輯變量的邏輯與運算叫做與項，與項的邏輯或運算構成了邏輯函數的與或式，也叫做積之和式（SP form）。

邏輯變量的邏輯或運算叫做或項，或項的邏輯與運算構成了邏輯函數的或與式，也叫做和之積式(PS form)。

在n變量邏輯函數中，若m為包含n個因子的乘積項，而且n個變量均以原變量或反變量的形式在m中出現一次，則稱m為該組變量的最小項。

在n變量邏輯函數中，若M為n個變量的和，而且這n個變量均以原變量或反變量的形式在M中出現一次，則稱M為該組變量的最大項。

運用邏輯代數的基本公式及規則可以對邏輯函數進行變換，從而得到表達式的最簡形式。這裏所謂的最簡形式是指最簡與或式或者是最簡或與式，它們的判別標準有兩條：⑴項數最少；⑵在項數最少的條件下，項內的文字最少。卡諾圖是遵循一定規律構成的。由於這些規律，使邏輯代數的許多特性在圖形上得到形象而直觀的體現，從而使它成為公式證明、函數化簡的有力工具。

邏輯代數是按一定的邏輯關係進行運算的代數，是分析和設計數字電路的數學工具。在邏輯代數，只有0和1兩種邏輯值， 有與、或、非三種基本邏輯運算，還有與或、與非、與或非、異或幾種導出邏輯運算。

邏輯是指事物的因果關係，或者説條件和結果的關係，這些因果關係可以用邏輯運算來表示，也就是用邏輯代數來描述。事物往往存在兩種對立的狀態，在邏輯代數中可以抽象地表示為 0 和 1 ，稱為邏輯0狀態和邏輯1狀態。

邏輯代數中的變量稱為邏輯變量，用大寫字母表示。邏輯變量的取值只有兩種，即邏輯0和邏輯1，0 和 1 稱為邏輯常量，並不表示數量的大小，而是表示兩種對立的邏輯狀態。

其規定：

⒈所有可能出現的數只有0和1兩個。

⒉基本運算只有“與”、“或”、“非”三種。

與運算（邏輯與、邏輯乘）定義為：

0·0=0 0·1=0 1·0=0 1·1=1

或運算（邏輯或、邏輯加）定義為：

0+0=0 0+1=1 1+0=1 1+1=1

至此布爾代數宣告誕生。

二、基本公式

如果用字母來代替數（字母的取值非0即1），根據布爾定義的三種基本運算，我們馬上可推出下列基本公式：

A·A=A A+A=A

A·0=0 A+0=A

A·1=A A+1=1

上述公式的證明可用窮舉法。如果對字母變量所有可能的取值，等式兩邊始終相等，該公式即告成立。

類代數是類邏輯的代數化。所謂類邏輯是從外延上理解的一階一元謂詞的邏輯。一元謂詞的外延指稱該謂詞所適用的個體的類。由論域中所有個體組成的類叫全類，記作 1。不含有任何事物的類叫空類，記作0。考慮全類的所有子類，即包含於其中的類（包括1和0），令a,b,с，…為這樣的類變元。由論域中不屬於a類的個體組成的類叫做a的補，記作a'。由或屬於a類或屬於b類的個體組成的類叫做a與b的邏輯和（並類），記作a∪b。由既屬於 a類又屬於 b類的個體組成的類叫做a與b的邏輯積（交類），記作a∩b，簡記作ab。如果a類與b類所含的個體相同，則稱a與b等同，記作a=b。a與b不等同記作a≠b。1和0是兩個特定的類常元。此外，還可以通過定義引入包含於關係，例如把a和b定義為a∩b' =0。

在類代數中，不帶有主詞存在斷定的直言命題aAb、aEb、aIb和aOb，可表示為a∩b'=0、a∩b=0、a∩b≠0和a∩b' ≠0。傳統邏輯中三段論第1格 AAA式可表示為：

如果с∩b' =0且a∩с' =0，則a∩b' =0。第3格EIO式可表示為：

如果с∩b=0且с∩a≠0，則a∩b' ≠0。類代數的運算滿足下表中列出的基本定律。

冪等律　a∪a=a

a∩a=a

交換律　a∪b=b∪a

a∩b=b∩a

結合律　a∪（b∪с）=（a∪b）∪с

a∩（b∩с）=（a∩b）∩с

吸收律　a∪（a∩b）=a

a∩（a∪b）=a

分配律　a∪（b∩с）=（a∪b）∩（a∪с）

a∩（b∪с）=（a∩b）∪（a∩с）

幺元律　0∪a =a

1∩a =a

1∪a =1

0∩a =0

補餘律　a∪a' =1

a∩a' =0

從這些定律出發，特別是只需以其中的交換律、分配律、前兩個幺元律和補餘律作為初始定律即公理，就可以推導出類邏輯的所有定律（定理）。類邏輯的內容比傳統的三段論理論要豐富得多，大致相當於只包含一元謂詞的一階謂詞邏輯（見謂詞邏輯）。一般的謂詞邏輯也可以用更進一步的代數方法處理，但已超出通常所謂的邏輯代數的範圍。

命題代數在結構上與類代數完全相同。只要對類代數中的符號另作命題邏輯的解釋，或者乾脆改為相應的命題邏輯符號，就得到命題代數。即把類變元改為命題變元p,q,r，…；改為否定詞填（“並非”）；∪改為析取詞∨（“或者”）；∩改為合取詞∧（“並且”）。1和0分別解釋為特定的邏輯上真的命題和邏輯上假的命題，或稱有效命題和矛盾命題；=表示兩命題邏輯上等值。這時，填、∨和∧作為命題運算正好滿足形式上與類代數的基本定律相對應的定律，而整個命題代數可包括命題邏輯的全部內容。命題代數和類代數可以有各種形式的公理系統，尤其是都可以有關於布爾展開式的定理，它相當於命題邏輯中的優析取範式和優合取範式的定理。

邏輯代數與命題代數有所不同。它還可以把1和0分別解釋為命題的真和假，令變元只取1和0為值，即令其為二值的真值變元，並把填、∨和∧解釋為真值運算，從而得到一種提供命題真值運算定律的真值代數。而且，在二值的真值代數中特別可以有定理“p=1或p=0”，但在一般的命題代數和類代數中卻沒有與此相應的定理。