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冪等
鎖定
- 中文名
- 冪等
- 外文名
- idempotent
- 屬 性
- 一個數學與計算機學概念
- 常見於
- 抽象代數
冪等定義
在數學裏,冪等有兩種主要的定義。
在某二元運算下,冪等元素是指被自己重複運算(或對於函數是為複合)的結果等於它自己的元素。例如,乘法下僅有兩個冪等實數,為0和1。
某一元運算為冪等的時,其作用在任一元素兩次後會和其作用一次的結果相同。例如,高斯符號便是冪等的。
一元運算的定義是二元運算定義的特例
冪等二元運算
設S為一具有作用於其自身的二元運算的集合,則S的元素s稱為冪等的(相對於*)當
s *s = s.
特別的是,任一單位元都是冪等的。若S的所有元素都是冪等的話,則其二元運算*被稱做是冪等的。例如,聯集和交集的運算便都是冪等的。
冪等一元運算
設f為一由X映射至X的一元運算,則f為冪等的,當對於所有在X內的x,
f(f(x)) = f(x).
注意當考慮一由X至X的所有函數所組成的集合S時。在f在一元運算下為冪等的若且唯若在二元運算下,f相對於其複合運算(標記為o)會是冪等的。這可以寫成f o f = f。
冪等一般例子
冪等函數
冪等環的冪等元素
定義上,環的冪等元素為一相對於環乘法為冪等的元素。可以定義一於環冪等上的偏序:若e和f為冪等的,當ef= fe= e時,標記為e≤ f。依其順序,0會是最小冪等元素,而1為最大冪等元素。
若e在環R內為冪等的,則eRe一樣會是個乘法單位元為e的環。
兩個冪等元素e和f被稱為正交的當ef=fe=0。在此一情形下,e+f也是冪等的,且有e ≤ e + f和f ≤ e + f。
若e在環R內為冪等的,則f = 1 − e也會是冪等的,且e和f正交。
一在R內的冪等元素e稱為核心的,若對所有在R內的x,ex=xe。在此情形之下,Re會是個乘法單位元為e的環。R的核心冪等元素和R的分解為環的直和有很直接的關接。若R為環R1、...、Rn的直和,則環Ri的單位元在R內為核心冪等的,相互正交,且其總和為1。相反地,給出R內給相互正交且總和為1的核心冪等元素e1、...、en,則R會是環Re1、...、Ren的直和。所有較有趣的是,每一於R內的核心冪等e都會給出一R的分解-Re和R(1 − e)的直和。
任一不等於0和1的冪等元素都是零因子(因為e(1 − e) = 0)。這表示了整環及除環都不會存在此種冪等元素。局部環也沒有此種冪等元素,但理由有點不同。唯一包含於一環的雅各布森根內的冪等元素只有0。共四元數環內會有一冪等元素組成的懸鏈曲面。
冪等其他例子
冪等運算也可以在布林代數內找到。邏輯和與邏輯或便都是冪等運算。
一冪等半環為其加法(非乘法)為冪等的半環。