超限數

超限數的研究是根據數學理論發展的需要提出來的，自從1883年德國數學家康托爾建立集合 論以來，集合論的思想和方法已經滲透到各個領域。在數學研究對象中，更多的是無窮集合，用什 麼 樣 的 數刻 劃無窮集合元素個數的無窮程度成了研究無窮集合的一個重要問題。十九世紀末期 ，康托爾首先進行了超限數的 研究，基本上解決了這一 問題，使超限數的思想和方法成了今日數學的基礎 ^[1]  。

超限數是大於所有有限數（但不必為絕對無限）的基數或序數。分別叫做超窮基數和超窮序數。

術語“超限”（transfinite）是康托爾提出的，他希望避免詞語無限（infinite）和那些只不過不是有限（finite）的那些對象有關的某些暗含。當時其他的作者少有這些疑惑；現在被接受的用法是稱超限基數或序數為無限的。但是術語“超限”仍在使用。

超窮序數可以確定超窮基數，並導出阿列夫數序列。

對於有限數，有兩種方式考慮超限數，作為基數和作為序數。不像有限基數和序數，超限基數和超限序數定義了不同類別的數。

1.最小超限序數是ω。

2.第一個超限基數是aleph-0

，整數的無限集合的勢。如果選擇公理成立，下一個更高的基數是aleph-1

。如果不成立，則有很多不可比較於aleph-1並大於aleph-0的其他基數。但是在任何情況下，沒有基數大於aleph-0並小於aleph-1。

連續統假設聲稱在aleph-0和連續統（實數的集合）的勢之間沒有中間基數：就是説，aleph-1是實數集合的勢。已經在數學上證實了連續統假設不能被證明為真或假，由於不完備性的影響。

某些作者，比如Suppes、Rubin使用術語超限基數來稱呼戴德金無限集合的勢，在可以不等於無限基數的上下文中；就是説在不假定可數選擇公理成立的上下文中。給定這個定義，下列是等價的 ^[2]  ：

1）

是超限基數。就是説有一個戴德金無限集合

使得

的勢是

；

2）

；

3）

；

4）有一個基數

使得

。