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可數選擇公理

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可數選擇公理，指示為ACω，是公理化集合論的類似於選擇公理的一個公理。它聲稱非空集合的任何可數蒐集都一定有選擇函數。保羅·寇恩證明了ACω在Zermelo-Fraenkel集合論（ZF）中是不可證明的。
中文名
可數選擇公理
外文名
Axiom of countable choice

目錄

  1. 1 簡介
  2. 2 用法
  3. 3 選擇公理

可數選擇公理簡介

可數選擇公理，指示為ACω，是公理化集合論的類似於選擇公理的一個公理。它聲稱非空集合的任何可數蒐集都一定有選擇函數。保羅·寇恩證明了ACω在Zermelo-Fraenkel集合論（ZF）中是不可證明的。
ZF + ACω足夠證明可數多可數集合的並集是可數的。它還足夠證明所有無限集合都是戴德金無限的（等價的説：有可數無限的真子集）。ACω對於開發數學分析特別有用，這裏的很多結果依賴於實數的可數集合有選擇函數（考慮為有理數的柯西序列的集合）。
ACω是弱形式的選擇公理（AC），它聲稱非空集合的“所有”蒐集一定有一個選擇函數。AC明確的藴涵了依賴選擇公理（DC），而DC足夠證明ACω。但是ACω要嚴格弱於DC（而DC嚴格弱於AC）。 [1] 

可數選擇公理用法

作為應用ACω的例子，下面是所有無限集合是戴德金無限的一個證明（在ZF+ACω中）：
  • 設X是無限的。對於每個自然數n，設An是X的所有2n-元素子集的集合。因為X是無限的，每個An是非空的。對序列An應用ACω，便得到了序列（Bn:n=0,1,2,3,...)，這裏的每個Bn是有2n個元素的X的子集。
  • 集合Bn可能是相交的，但是我們可以定義C0=B0Cn= 是Bn與所有Cj的並集的差集，j<n。
  • 明顯的每個集合Cn都有至少1個和至多2n個元素，而集合Cn是兩兩不相交的。再對序列Cn應用ACω，便得到了序列 (cn:n=0,1,2,...)，其中cn∈Cn。
  • 所以所有cn都是相異的，而X包含一個可數集合。定義把每個cn映射到cn+1的函數f（並固定所有X的其他元素），f是從X到X的一一映射，它不是滿射，這證明了X是戴德金無限的。 [1] 

可數選擇公理選擇公理

選擇公理（英語：Axiom ofChoice，縮寫AC）是數學中的一條集合論公理。這條公理聲明，對所有非空指標集族，總存在一個索引族，對每一個
，均有
。選擇公理最早於1904年，由恩斯特·策梅洛為證明良序定理而公式化完成。
非正式地説，選擇公理聲明：給定一些盒子（可以是無限個），每個盒子中都含有至少一個小球，那麼可以作出這樣一種選擇，使得可從每個盒子中恰好選出一個小球。在很多情況下這樣的選擇可不借助選擇公理；尤其是在“盒子個數有限”和“存在具體的選擇規則”（當每個盒子都恰好只有一個小球具有某項特徵）這兩種情況下。再舉一個例子，假設有許多（甚至是無限）雙鞋子，則我們可以選取每雙鞋左邊的鞋子構成一個具體的選擇。然而，假設有無限雙襪子（假設每雙襪子都沒有可區分的特徵），在這種情況下，有效的選擇只能通過選擇公理得到。
儘管曾具有爭議性，選擇公理現在已被大多數數學家毫無保留地使用着，例如帶有選擇公理的策梅洛-弗蘭克爾集合論（ZFC）。數學家們使用選擇公理的原因是，有許多被普遍接受的數學定理，比如是吉洪諾夫定理，都需要選擇公理來證明。現代的集合論學家也研究與選擇公理相矛盾的公理，例如決定公理。
在一些構造性數學的理論中會避免選擇公理的使用，不過也有的將選擇公理包括在內。 [1] 
參考資料
  • 1.    Howard, Paul; Rubin, Jean E. (1998). "Consequences of the axiom of choice". Providence, R.I. American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-0977-8.