良序定理

選擇公理的一種等價形式.該定理斷言：每一個集合可以被良序.早在1883年，德國數學家康托爾(Cantor，G.(F.P.))發明基數理論之時，他就提出了連續統的大小問題，並且假定全體實數的集合(連續統)可以被良序.由於這個良序時至今日仍未找到，所以康托爾的假定一直遭到強烈反對.1904年，德國數學家策梅洛(Zermelo，E.F.F.)給出了選擇公理的明確表達，並用之證明了每個集合是可被良序的.不久，又證明了良序定理與選擇公理是等價的.由良序定理可知，每一集合序同構於某個序數，又可基等價於某個基數，從而給人們帶來了極大的方便，例如，可以在任何集合上應用超窮歸納的證明方法。 ^[1] 

所有集合都是可良序的。集合論的重要定理之一。德國邏輯學家策梅羅(E.Zermelo)1904年首次證明。包括選擇公理在內的集合論公理，能證明良序定理;由除選擇公理以外的集合論公理，加上良序定理，也能證明選擇公理。

選擇公理的等價形式之一。其內容為：對任何集合S，存在S上的二元關係R，使得<S，R>是良序集。它意味着：任何集合都可以良序化。德國數學家策梅羅於1904年提出了這一定理，並在選擇公理的基礎上給出了定理的證明。

定義稱C

PXP是良序的，若C的任何非空子集均有極小元；

稱C

PxP是逆良序的，若C的任何非空子集均有極大元； ^[2] 

稱A

PxP在PxP中是相對良序完備的，若A的任一個良序集或逆良序集在PxP中有上確界和下確界，若A=PxP，則稱PxP是良序完備的。

良序定理是一條ZFC公理集合論系統中的定理。它可以由佐恩引理證明如下：

對任意集合S，為了證明存在S上的一個良序，令集合P為所有S的子集上的良序（嚴格來説，P的元素是S的子集和其上的良序關係組成的有序對）。對任意A，B∈P，定義A≤B當且僅當A是B的一個前段。(P,≤)構成一偏序集，且對這個偏序集的任意鏈，取其中所有良序的並，則得到這條鏈的一個上界。應用佐恩引理，得到P有一個極大元M。M必然是整個S的一個偏序，否則若x是不在M中的一個S的元素，把x接到M後面得到M'，則M'∈P且M≤M'，與M的極大性矛盾。定理得證。

在ZF中，由良序定理可以簡單地證明選擇公理：

對任意由非空集合組成的集合A，取A的並集S，由良序定理，S是可以良序的。A中的任意集合X都是S的非空子集，故根據這個S的良序，可以選出一個最小元素x。這種選擇是滿足替換公理模式的條件的，故應用替換公理模式，即證明了選擇公理。

由此可見，在ZF中良序定理和選擇公理是等價的，故在有些ZFC公理系統的表示中，良序定理代替了選擇公理。

良序定理是非常重要的，因為它確保所有集合適用超限歸納法的強力技術。

康托爾認為良序定理是“思維的基本原理”。但是多數數學家發現想象如實數集合R這樣的良序集合是困難的。在 1904年，Julius K&ouml;nig聲稱已經證明了這種良序不能存在。幾周之後，費利克斯·豪斯多夫在他的證明中發現了一個錯誤。恩斯特·策梅洛接着引入了選擇公理作為證明良序定理的“不討厭的邏輯原理”。這揭示了良序定理等價於選擇公理，在它們中的一個和Zermelo-Fraenkel公理一起足夠證明另一個的意義上。

良序定理已經推出似乎是悖論的推論，比如巴拿赫-塔斯基悖論。