ZFC公理系統

(ZF1)外延公理：一個集合完全由它的元素所決定。如果兩個集合含有同樣的元素，則它們是相等的。

(ZF2)空集合存在公理：即存在一集合s，它沒有元素。

(ZF3)無序對公理：也就是説，任給兩個集合x、y，存在第三個集合z，使得w∈z當且僅當w=x或者w=y。這個公理實際説的是，給定兩個集合x和y，我們可以找到一個集合A，它的成員完全是x和y。

(ZF4)並集公理：也就是説，任給一集合x，我們可以把x的元素的元素彙集到一起，組成一個新集合。

準確的定義：“對任意集合x，存在集合y，使w∈y當且僅當存在z使z∈x且w∈z”。

(ZF5)冪集公理：也就是説，任意的集合x，

也是一集合。

準確的定義：“對任意集合x，存在集合y，使z∈y當且僅當對z的所有元素w，w∈x”。

(ZF6)無窮公理：也就是説，存在一集合x，它有無窮多元素。

準確的定義：“存在一個集合，使得空集是其元素，且對其任意元素x，

也是其元素。”

根據皮亞諾公理系統對自然數的描述，此即：存在一個包含所有自然數的集合。

(ZF7)分離公理模式：“對任意集合x和任意對x的元素有定義的邏輯謂詞P(z)，存在集合y，使z∈y當且僅當z∈x而且P(z)為真”。

(ZF8)替換公理模式：也就是説，對於任意的函數

，對於任意的集合t，當x屬於t時，

都有定義（ZF中唯一的對象是集合，所以

必然是集合）成立的前提下，就一定存在一集合s，使得對於所有的x屬於t，在集合s中都有一元素y，使y=

。也就是説，由F（x）所定義的函數的定義域在t中的時候，那麼它的值域可限定在s中。

(ZF9)正則公理：也叫基礎公理。所有集都是良基集。説明一個集合的元素都具有最小性質，例如，不允許出現x屬於x的情況。

準確的定義：“對任意非空集合x，x至少有一元素y使x∩y為空集。”

注：以上全部即是ZF公理系統的內容，再加上選擇公理就構成了ZFC公理系統。

（AC）選擇公理：對任意集c存在以c為定義域的選擇函數g，使得對c的每個非空元集x，g(x)∈x。

注2：空集公理是可以由其它公理導出。一般認為ZF公理系統可以不包含空集公理。