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空集公理
鎖定
- 中文名
- 空集公理
- 外文名
- axiom of empty set
- 應用學科
- 數學
- 應用領域
- 集合論
- 相關術語
- 替換公理模式
- 類 型
- 數學術語
空集公理形式陳述
空集公理解釋
- 存在一個空集。
空集公理一般被認為是無可爭議的,它或它的等價命題出現在任何可替代的集合論的公理化中。
在 ZF 的某些陳述版本中,空集公理實際上在無窮公理中是重複的。換句話説,有不預設空集存在的另一種公理版本。還有,以一常量符號表示空集的話,藉此可以把其他 ZF 公理重寫成更簡潔的版本;那麼無窮公理也會用到這個符號而不要求它是空的,儘管需要空集公理來表明它實際上是空的。
而且,在那些不包含無窮集合的集合論中,空集公理仍是需要的。就是説,使用分離公理模式,聲稱任何集合存在的任何公理都藴涵空集公理。
空集公理定義
空集公理是集合論的ZF公理系統中的一條公理,常常用它和替換公理模式證明分離公理模式(證明需要排中律),而不把後者當作一條公理。後者和“至少存在一個集合”的假設一起又能推出空集公理。它的表述為:“存在一個集合x,它沒有任何元素”。
其實,空集公理通常在無窮公理中被重複了,後者構造了一個集合,其中有一元素為空集。但是,有些公理化中,無窮公理所構造的集合並不被要求包含空集(例如包含一個任意元素),此時空集公理是必要的。有時可能要研究有限的集合模型,這時無窮公理被去除,然而空集公理仍然有效。
空集公理在替換公理模式證明分離公理模式時,起到了輔助的作用,只有所求集合是空集時,因為按通常的替換公理模式的描述無法證明,才應用空集公理。如果替換公理模式不要求其中的F(z)對任意z有定義,而是要求有定義時才考慮F(z)在y中的問題,那麼可以單獨證明分離公理模式,而後者在任意一種無窮公理的形式(只要保證集合存在)下可以推出空集公理。
- 參考資料
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- 1. Kunen, Kenneth, 1980. Set Theory: An Introduction to Independence Proofs. Elsevier. ISBN 0-444-86839-9.
- 2. Jech, Thomas, 2003. Set Theory: The Third Millennium Edition, Revised and Expanded. Springer. ISBN 3-540-44085-2.
- 3. Paul Halmos, Naive set theory. Princeton, NJ: D. Van Nostrand Company, 1960. Reprinted by Springer-Verlag, New York, 1974. ISBN 0-387-90092-6 (Springer-Verlag edition).