選擇函數

設 X 是一個非空集合而且 X 的每一個元素都是非空的。一個從集合 X 到

上的函數（映射）f 被稱為 X 上的一個選擇函數當且僅當對於每一個

都有

。 ^[1] 

選擇公理(AC)描述每一非空集合的集合都會有一選擇函數。另一較弱的選擇公理－可數選擇公理(CC)描述每一非空集合組成的可數集合都會有一選擇函數。但無論如何，即使沒有AC或CC，某些集合還是可以有選擇函數。

若X為一非空集合組成的有限集合，則可以建立一選擇函數，由每一個X的元素內選取一個元素。這隻需要做有限多次的選擇，所有不需要有AC和CC兩個公理。 若X的每一元素都是良序非空集合，則有可能由每一個X的元素中選取其極小元。如此，或許需要有無限多次的選擇，但存在一做選擇的規擇，所以AC和CC再次地不需要有。分辨“良序”和“可良序”是很重要的：當X的元素盡為可良序，則其將需要選取每一元素的一良序，而這可能需要無限多次隨意的選擇，因此需要有AC(或CC，若X為可數無限)。 若X的每一元素都是非空集合，且其聯集為可良序的，則有可能可以選擇一此聯集的良序，且推導至X內每一元素的良序，如此一個選擇函數就可以如前述例子一樣地存在。在此一例子裏，是有可能只做一次選擇來決定X內每一元素的良序，故不需要AC和CC。