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貝塔函數
鎖定
在概率統計和其他應用學科中會經常用到伽瑪函數和貝塔函數，有的反常積分的計算最後也會歸結為貝塔函數或伽瑪函數。貝塔函數又稱為 B 函數，需要注意這裏 B 是大寫希臘字母Beta而不是大寫英文字母；貝塔函數又稱為第一類
歐拉積分，而第二類
歐拉積分就是大名鼎鼎的
伽瑪函數Γ(x)。當P>0且Q>0時貝塔函數收斂。貝塔函數具有很好的性質，以及實用的遞推公式，另外需要注意的是伽瑪函數和貝塔函數之間的關係。
- 中文名
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貝塔函數
- 外文名
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Beta function
- 別 名
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Beta函數，B函數，第一歐拉積分
- 基本性質
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P>0,Q>0時連續，對稱性
- 重要關係
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與Γ(x)、不完全Beta函數的關係
- 應用學科
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概率統計
數學分析
貝塔函數貝塔函數簡介
在概率統計和其他應用學科中會經常用到
伽瑪函數和貝塔函數，有的反常積分的計算最後也會歸結為貝塔函數或伽瑪函數。
[1]
貝塔函數又稱為第一類歐拉積分，伽瑪函數也可稱為第二類歐拉積分。
[2]
稱該函數為貝塔函數，或 Beta 函數，B 函數。
當P<1 時，是以
為
瑕點的無界函數
反常積分；當
時，是以
為瑕點的無界函數反常積分，應用柯西判別法可證得當
時，這兩個無界函數反常積分都收斂，所以貝塔函數的定義域為
。
[3]
貝塔函數貝塔函數性質
貝塔函數連續性
證明：由於對任何
成立不等式
，而積分
收斂，故由魏爾斯特拉斯 M 判別法可知貝塔函數在定義域
內連續。
[3]
貝塔函數對稱性
推導過程：
貝塔函數遞推公式
貝塔函數近似公式
根據斯泰林公式，當P，Q比較大時，我們有近似公式
。
[3]
貝塔函數其他形式
貝塔函數與其它函數
與伽瑪函數的關係
（1）對於任意的正實數
，有關係表達式：
。
[3]
（2）當P、Q都是正整數時，我們可以將結果寫成
，其中
是
二項式係數。
與不完全貝塔函數關係
（1）
，很顯然當 x 取1時，結果就變成完全的貝塔函數了。
- 參考資料
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1.
閆站立編．微積分 上冊．北京：高等教育出版社，2007：253-257
-
2.
周希朗編著．電磁場理論中的應用數學基礎 ．南京：東南大學出版社，2006：39-41
-
3.
華東師範大學數學系．數學分析（下冊）（第三版）．北京：高等教育出版社，2011：190-195
-
4.
陳文，孫洪廣，李西成著．力學與工程問題的分數階導數建模．北京：科學出版社，2010：242-243
