諾特概形

諾特概形(Noetherian scheme)是諾特環的推廣。

若一個概形X有一個由諾特環的譜所構成的有限仿射開覆蓋，則稱X是諾特概形。

諾特概形中的任意一個仿射開子概形都是諾特環的譜。

域上或諾特環上的有限型概形都是諾特概形。 ^[1] 

若仿射概形Spec A是諾特概形，則A是諾特環。 ^[4] 

概形是代數幾何的基本研究對象。它實際上就是一個局部同構於仿射概形的局部環空間。更精確地，概形(X，O_X)是一個環空間，其拓撲空間X有一個開覆蓋{X_i}_i∈I，使得(X_i，O_X|X_i)同構於仿射概形Spec Γ(X_i，O_X)(這樣的覆蓋稱為仿射開覆蓋).概形間的態射就是局部環空間的態射.概形的範疇是局部環空間範疇的子範疇.若概形X有一個仿射開覆蓋{X_i}，使得每個仿射概形都是諾特概形、既約概形、正規概形或正則概形，則相應地稱概形X是局部諾特的、既約的、正規的或正則的。這些性質都是概形的局部性質，就是説，只要存在一個仿射開覆蓋具有上述某種性質，這個概形就具有此性質，而且任意一個仿射開子概形都有此性質。若概形X的拓撲空間是連通空間或不可約空間(即它不能表成兩個不同真閉子集的並)，則稱此概形為連通的或不可約的。

在研究概形的性質或有關的概念時，往往要考慮具有相同基礎的概形。帶有態射f：X→S的概形X稱為S概形。若S=Spec A是仿射概形，則S概形簡稱A概形。顯然任何概形都是Z概形。給出基變換態射S′→S後，可以得到一個S′概形X_S′=X×_SS′，稱為S概形X的基擴張。與S概形相關的概念稱為相對概念，以區別於與概形相關的絕對概念.S概形與態射f：X→S密切相關。不同性質的態射就給出了不同的S概形。例如，設f：X→S是一個態射，若對角浸入X→X×_SX是閉態射，則稱f是分離態射；若存在S的一個仿射開覆蓋{U_i}={Spec B_i}，使得每個f(U_i)都有一個有限仿射開覆蓋{V_ij}={Spec A_ij}，並且A_ij都是有限生成B_i代數，則稱f是有限型的；若f(U_i)=Spec A_i，A_i都是有限生成B_i模，則稱f是有限態射。有限態射是仿射態射。代數幾何中研究的S概形一般都是分離、有限型的。

設R是一個有單位元的交換環，如果R的每個理想鏈I₁⫅I₂⫅I₃⫅…都存在整數n，使得對任何i≥n，I_i=I_n，則稱R是一個諾特環。設R是一個交換環，R的理想Q稱為準素理想，如果Q≠R，對任意的a，b∈R，若ab∈Q，a∉Q，則必存在正整數n，使得b∈Q。設I是交換環R的理想，I的根(或稱冪零根)是包含I的所有素理想之交，記作或radI。準素理想的根是一個素理想，這個素理想稱為與Q結合的素理想，或Q是屬於這個素理想的準素理想。交換環R中的理想I稱為有準素分解，如果I=Q_i∩…∩Q_n，其中Q_i，i=1，…，n都是準素理想。如果每個Q_i都不包含Q₁∩…∩Q_i-1∩Q_i+1∩…∩Q_n，而且Q_i的根互不相同，則稱這樣的準素分解是既約的。一個有單位元的交換環R是諾特環當且僅當R的每個理想是有限生成的，當且僅當R滿足理想的極大條件：對R的任一個理想的非空族{I_λ}，其中必存在極大元I，即若J∈ {I_λ}，I⫅J，則I=J。含幺交換環是諾特環當且僅當每個素理想是有限生成的。諾特環R的每個理想I，I≠R，有準素分解，而且若I=A₁∩…∩A_n，I=B₁∩…∩B_m是兩個既約準素分解，其中A_i是屬於P_i的準素理想，B_j是屬於Q_j的準素理想，則n=m，而且適當重排順序後，P_i=Q_i。環R的非空子集S稱為R的一個乘閉子集，如果對任何a，b∈S，ab∈S。設S是交換環R的一個乘閉子集，在集合R×S上定義一個關係～： (r，s) ～ (r′，s′)，如果存在S₁∈S使得s₁(rs′-r′s) =0，這個關係是一個等價關係，(r，s)所在等價類記作r/s，R×S的全體等價類做成的集合記作SR，在SR中定義則SR做成一個有單位元的交換環。SR稱為R對於S的分式環。一個有單位元的交換環稱為局部環，如果它只有一個極大理想。設R是有單位元的交換環，P是R的素理想，令S=R\P，則S是R的乘閉子集，分式環SR是一個局部環，稱為R在P處的局部化，記作R_p。設S是諾特環R的乘閉子集，則SR也是諾特環。設R是—個諾特環，R[x₁，…，x_n]是R上文字x₁，…，x_n的多項式全體做成的環，則R[x₁，…，x_n]也是諾特環，這個結論稱為希爾伯特基定理。設R是一個諾特環，R[[x]]是R上文字x的形式冪級數全體做成的環，則R[[x]]也是諾特環。 ^[2] 

覆蓋是數學的一個重要概念。這裏指一類節點子集。具體地説，圖的一個節點子集使該圖的每一條邊都與這個子集中一個節點關聯，稱這樣的節點子集為覆蓋集，也稱點覆蓋集，簡稱覆蓋。.圖G的最小覆蓋，也稱最小點覆蓋，是指在圖的所有覆蓋中，節點數最少的覆蓋.G的最小覆蓋的節點數稱為G的覆蓋數，或點覆蓋數，常記為β(G)。一個圖稱為覆蓋臨界圖，或點覆蓋臨界圖，若從這圖上去掉任何一條邊後，所得的圖的覆蓋數都小於原圖的覆蓋數。設有一個最小覆蓋M，若對於它的任何一個子集M′，與M′中節點相鄰的不在M中的節點的數目總不比M′的節點數少，則稱M為一個外部最小覆蓋或外最小點覆蓋。不是任何一圖都有外最小覆蓋。事實上，一個圖有外最小覆蓋當且僅當它有一個點核，或邊核。

德國女數學家.生於埃爾朗根的一個猶太數學世家，父親馬克思·諾特(Noether，Max)為埃爾朗根大學數學教授.諾特15歲時畢業於埃爾朗根女子中學，曾當過中學外語教師.1900年，考入埃爾朗根大學旁聽(當時的大學均不準女生在校註冊)，選修數學、歷史和外語.1903年，她轉入格丁根大學繼續鑽研數學，並得到了閔可夫斯基(Minkowski，H.)、布盧門塔爾(Blumenthal)、克萊因(Klein，(C.)F.)和希爾伯特(Hilbert，D.)等名家的指導.1904年，返回埃爾朗根大學專攻數學.1907年獲數學博士，導師為哥爾丹(Gordan，P.A.)，論文題目是《三元雙二次型不變量的完備系》.1916年，應希爾伯特邀請，到格丁根大學任“私人講師”，1919年，終於成為了格丁根大學的第一名女子講師.1922年，她以自己的數學才能獲得了教授稱號，隨後領導了一個數學討論班，取得了一系列的重要成果.1928年，應亞歷山德羅夫(Александров，А.Д.)等人的邀請，到莫斯科講學一年.1932年受到在蘇黎世召開的國際數學家大會的隆重歡迎，諾特的學術聲譽達到了頂點.1933年，希特勒(Hitler，A.)上台後，她被迫遷居美國，在布林馬爾學院任教，並去普林斯頓高等研究所講學.1935年4月14日，諾特死於癌症. ^[3] 

諾特一生主要從事抽象代數的研究，共發表論文37篇.1921年，她的經典性論文《環中的理想論》的發表，標誌着抽象代數現代化的開端，同時帶出了一批有影響的數學人才.她還為愛因斯坦廣義相對論給出了一種純粹數學的嚴格方法，提出統一的數學概念，促進了相對論和基本粒子物理學的發展.此外，她在拓撲學的研究中亦有重要成果.

諾特終身未婚，將自己的全部精力奉獻給了科學事業，為女性登上抽象科學高峯樹立了榜樣.