誘導公式

常用的誘導公式有以下六組：

終邊相同的角的同一三角函數的值相等。

設α為任意鋭角，弧度制下的角的表示：

角度制下的角的表示：

sin (α+k·360°)=sinα（k∈Z）.

cos(α+k·360°)=cosα（k∈Z）.

tan (α+k·360°)=tanα（k∈Z）.

cot（α+k·360°）=cotα （k∈Z）.

sec（α+k·360°）=secα （k∈Z）.

csc（α+k·360°）=cscα （k∈Z）.

π+α的三角函數值與α的三角函數值之間的關係。

設α為任意角，弧度制下的角的表示：

sin（π+α）=-sinα.

cos（π+α）=-cosα.

tan（π+α）=tanα.

cot（π+α）=cotα.

sec（π+α）=-secα.

csc（π+α）=-cscα.

角度制下的角的表示：

sin（180°+α）=-sinα.

cos（180°+α）=-cosα.

tan（180°+α）=tanα.

cot（180°+α）=cotα.

sec（180°+α）=-secα.

csc（180°+α）=-cscα. ^[1] 

任意角α與 -α的三角函數值之間的關係：

sin（-α）=-sinα.

cos（-α）=cosα.

tan（-α）=-tanα.

cot（-α）=-cotα.

sec（-α）=secα.

csc (-α）=-cscα.

利用公式二和公式三可以得到π-α與α的三角函數值之間的關係：

弧度制下的角的表示：

sin（π-α）=sinα.

cos（π-α）=-cosα.

tan（π-α）=-tanα.

cot（π-α）=-cotα.

sec（π-α）=-secα.

csc（π-α）=cscα.

角度制下的角的表示：

sin（180°-α）=sinα.

cos（180°-α）=-cosα.

tan（180°-α）=-tanα.

cot（180°-α）=-cotα.

sec（180°-α）=-secα.

csc（180°-α）=cscα. ^[1] 

利用公式一和公式三可以得到2π-α與α的三角函數值之間的關係：

弧度制下的角的表示：

sin（2π-α）=-sinα.

cos（2π-α）=cosα.

tan（2π-α）=-tanα.

cot（2π-α）=-cotα.

sec（2π-α）=secα.

csc（2π-α）=-cscα.

角度制下的角的表示：

sin（360°-α）=-sinα.

cos（360°-α）=cosα.

tan（360°-α）=-tanα.

cot（360°-α）=-cotα.

sec（360°-α）=secα.

csc（360°-α）=-cscα. ^[1] 

π/2±α 及3π/2±α與α的三角函數值之間的關係：（⒈～⒋）

⒈π/2+α與α的三角函數值之間的關係

弧度制下的角的表示：

sin（π/2+α）=cosα.

cos（π/2+α）=-sinα.

tan（π/2+α）=-cotα.

cot（π/2+α）=-tanα.

sec（π/2+α）=-cscα.

csc（π/2+α）=secα. ^[2] 

角度制下的角的表示：

sin（90°+α）=cosα.

cos（90°+α）=-sinα.

tan（90°+α）=-cotα.

cot（90°+α）=-tanα.

sec（90°+α）=-cscα.

csc（90°+α）=secα. ^[2] 

弧度制下的角的表示：

sin（π/2-α）=cosα.

cos（π/2-α）=sinα.

tan（π/2-α）=cotα.

cot（π/2-α）=tanα.

sec（π/2-α）=cscα.

csc（π/2-α）=secα.

角度制下的角的表示：

sin (90°-α)=cosα.

cos (90°-α)=sinα.

tan (90°-α)=cotα.

cot (90°-α)=tanα.

sec (90°-α)=cscα.

csc (90°-α)=secα.

弧度制下的角的表示：

sin（3π/2+α）=-cosα.

cos（3π/2+α）=sinα.

tan（3π/2+α）=-cotα.

cot（3π/2+α）=-tanα.

sec（3π/2+α）=cscα.

csc（3π/2+α）=-secα. ^[2] 

角度制下的角的表示：

sin（270°+α）=-cosα.

cos（270°+α）=sinα.

tan（270°+α）=-cotα.

cot（270°+α）=-tanα.

sec（270°+α）=cscα.

csc（270°+α）=-secα. ^[2] 

⒋ 3π/2-α與α的三角函數值之間的關係

弧度制下的角的表示：

sin（3π/2-α）=-cosα.

cos（3π/2-α）=-sinα.

tan（3π/2-α）=cotα.

cot（3π/2-α）=tanα.

sec（3π/2-α）=-cscα.

csc（3π/2-α）=-secα.

角度制下的角的表示：

sin（270°-α）=-cosα.

cos（270°-α）=-sinα.

tan（270°-α）=cotα.

cot（270°-α）=tanα.

sec（270°-α）=-cscα.

csc（270°-α）=-secα. ^[3] 

公式一到公式五函數名未改變， 公式六函數名發生改變。

公式一到公式五可簡記為：函數名不變，符號看象限。即α+k·360°（k∈Z），﹣α，180°±α，360°-α的三角函數值，等於α的同名三角函數值，前面加上一個把α看成鋭角時原函數值的符號。

上面這些誘導公式可以概括為：對於kπ/2±α(k∈Z)的三角函數值，

①當k是偶數時，得到α的同名函數值，即函數名不改變；

②當k是奇數時，得到α相應的餘函數值，即sin→cos;cos→sin;tan→cot,cot→tan。（奇變偶不變）然後在前面加上把α看成鋭角時原函數值的符號。（符號看象限）

例如：

sin(2π-α)=sin(4·π/2-α)，k=4為偶數，所以取sinα。

當α是鋭角時，2π-α∈(270°，360°)，sin(2π-α)<0，符號為“-”。

所以sin(2π-α)=-sinα ^[3] 

注：奇變偶不變（對k而言，指k取奇數或偶數），符號看象限（看原函數，同時可把α看成是鋭角）。

公式右邊的符號為把α視為鋭角時，角k·360°+α（k∈Z），-α、180°±α，360°-α所在象限的原三角函數值的符號可記憶：水平誘導名不變；符號看象限。

各種三角函數在四個象限的符號如何判斷，也可以記住口訣“一全正；二正弦(餘割)；三兩切；四餘弦(正割)”．

這十二字口訣的意思就是説：

第一象限內任何一個角的三角函數值都是“+”；

第二象限內只有正弦和餘割是“+”，其餘全部是“-”；

第三象限內只有正切和餘切是“+”，其餘函數是“-”；

第四象限內只有正割和餘弦是“+”，其餘全部是“-”。 ^[3] 

一全正，二正弦，三雙切，四餘弦